【清风数学建模笔记】第三讲：插值算法
数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支持分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
文章目录
一、一维插值问题
二、插值法的定义
三、 插值法的分类
四、一般插值多项式原理
五、拉格朗日插值法
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫∙路易斯∙拉格朗日命名的一种多项式插值方法。在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。
六、龙格现象
高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大,产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。
所以我们引入分段插值。
七、分段线性插值
分段二次插值
八、牛顿插值法
九、两种插值法的对比
拉格朗日插值
牛顿插值
评价：
与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。(牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，这样每次只要在原来的函数上添加新的项，就能够产生新的函数)，但是牛顿插值也存在龙格现象的问题。
十、两种插值算法的另一个缺点
上面讲的两种插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，而这种插值多项式却不能全面反映被插值函数的性态。
然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。
对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。
十一、埃尔米特（Hermite）插值
不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。
埃尔米特插值原理
分段三次埃尔米特插值
直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)。
十二、三次样条插值
三次样条多项式满足的条件
legend函数
插值结果对比
n维数据的插值（了解）
注意：实际建模过程中，大家尽量不要用插值算法来预测，上面只是给大家举的一个小例子；
如果要预测，可以选择下一讲要学的拟合算法，也可以使用之后要学的专门用于预测的算法。
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