【数学建模】1层次分析法模型部分
目录
1 数学建模的任务分配
(1)数学建模三大块:建模+编程+写作
(2)模型讲解
• 简单例子
• 写作训练
2 简介
层次分析法(The analytic hierarchy process 简称AHP)建模比赛中最基础的模型之一,其主要用于解决评价类问题(例如:选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现得更优秀)
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大的提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构,通过两两比较但方法确定决策方案相对重要度但总排序。整个过程体现来人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服来其他方法回避决策者主观判断的缺点。
3 模型介绍
3.1 评价类问题
高考毕业了,小明选择去哪个学校
思考问题的思路如下:
3.2 拿到建模问题
优先在知网(万方、百度学术、谷歌学术)上搜一下相关文献
如果没有找到相关文献,则和小组成员来场头脑风暴+在平台上搜索别人或者专家的看法。
3.3 推荐搜索网站
虫部落-快搜
优先级:
• 谷歌搜索
• 微信搜索
• 知乎搜索
例如本题我们可以搜索关键字:
旅游选择因素、根据什么因素来选择旅游景点、旅游景点评价指标。
3.4 确定好指标
3.5 确定指标权重
(1)采用分而治之的思想
问题:一次性考虑五个指标之间的关系,往往考虑不周
解决方法:两两指标进行比较,最终根据两两比较的结果进行推算权重。
(2)分而治之的思想
(3)得到判断矩阵
(4)再对每个指标进行填写判断矩阵
(5)解决判断矩阵中不一致现象
• 先介绍一下什么叫一致矩阵
• 一致矩阵特点:各行和各列成倍数关系
• 一致矩阵的定义
• 一致性检验
原理:检验我们构造的矩阵和一致性矩阵是否有太大的差别
• 一致性检验的步骤
如果一致性检验大于0.1,那就需要修正矩阵。
• 两个小问题
• 计算一致矩阵的权重
(6)计算判断矩阵的权重
方法一:算术平均化求权重
• 算术平均法求权重的步骤:
• 步骤的数学表示(可放到论文中)
方法二:几何平均法
方法三:特征值法求权重
• 将计算结果填入权重表(特征值法最常用)
• 代码实现求权重矩阵
%层次分析代码
disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
【n,n】=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=【0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59】;
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end
(7)Excel可以方便计算矩阵权重
F4可以锁定单元格,往后拖动计算公式,那锁定的那个单元格不会变。
4 层次分析法完整建模过程
4.1 第一步-建立层次结构图
生成层次结构图方法
方法一:PPT的SmartArt来生成层次结构图
方法二:专业 画图软件亿图图示(或processon)
4.2 第二步-构造判断矩阵
因为评价矩阵有主观性(能搜资料,参考专家的就参考专家的,没有也不要乱写),在论文撰写时,可以直接给出权重矩阵。例如别人的优秀论文
4.3 第三步-计算判断矩阵相对权重
4.4 第四步-计算合成权重排序
5 层次分析法的局限性
6 模型拓展
(1)层次分析法还适用于最后一层是1对2(这里的2表示大于1小于方案层所有的方案数量),但不是上面举例中1对3(3表示方案层中所有方案数量)
(2)还适用于一个准则对应自己的多个方案。
7 代码实现层次分析法
ccfx_Learn.m
%% 注意:在论文写作中,应该先对判断矩阵进行一致性检验,然后再计算权重,因为只有判断矩阵通过了一致性检验,其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中,我们先计算了权重,然后再进行了一致性检验,这是为了顺应计算过程,事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法,一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是,只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵,那么就没有必要进行一致性检验。
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A: ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法,可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾(最后一行的分号可加可不加),同行元素之间以空格(或者逗号)分开。
%% 方法1:算术平均法求权重
% 第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵,所以这里的r和c相同,我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1) %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下:
SUM_A = [];
for i = 1:n %循环哦,这一行后面不能加冒号(和Python不同),这里表示循环n次
SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和,得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可(注意这里也可以用./哦)
%% 方法2:几何平均法求权重
% 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似,一个用于乘,一个用于加 dim = 2 维度是行
% 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作,因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方,所以我们等价求1/n次方
% 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3:特征值法求权重
% 第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了? 需要用到find函数,它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。
% 第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为:');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR < 0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
% % 注意:代码文件仅供参考,一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格,代码雷同也算作抄袭
% % 视频中提到的附件可在售后群(购买后收到的那个有道云笔记中有加入方式)的群文件中下载。包括讲义、代码、优秀的作业、我视频中推荐的资料等。
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% % 如何修改代码避免查重的方法:https://www.bilibili.com/video/av59423231(必看)
8 全国大学生数学建模竞赛论文模版下载
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