【数学建模】4 马尔萨斯人口论
本博客是慕课-全国大学生数学建模竞赛组委会开设的建模竞赛课学习笔记
1 数学模型分类
(1)数理型:统计回归
(2)机理型:
2 马尔萨斯人口论的引入
群体增长的趋势是什么
(1)基本论题
人类食物供给增长趋势无法跟上人口增长的趋势
(2)论证方式
公理化
(3)基本公理
• 食物为人类生存所必需
• 两性之间的情欲是必然,而且几乎会保持现状
(3)增长理论
人口有几何增长的趋势,如报数
1、2、4 、8、16。。。
食物供应只有算数增长的趋势(即是按现行函数增长的趋势)如报数
1、2、3、4、5、6。。。
人类会有无限增长的趋势,直至食物供应的极限为止
结论: 要控制人口的无节制增长
(4)马尔萨斯问题
P(t)时候的人口数量。
•
已
知
当
前
或
过
去
某
个
时
刻
的
人
口
数
量
,
预
测
未
来
某
个
时
刻
的
人
口
?
\color{red}{已知当前或过去某个时刻的人口数量,预测未来某个时刻的人口?}
已知当前或过去某个时刻的人口数量,预测未来某个时刻的人口?
•
汉
字
格
式
遥
远
未
来
的
趋
势
(
t
趋
于
无
穷
)
?
\color{red}{汉字格式遥远未来的趋势(t趋于无穷)?}
汉字格式遥远未来的趋势(t趋于无穷)?
解:以下是早期的马尔萨斯的模型解法。当问题随着世界的变化,各种因素的需要考虑进去,后面还有改进的马尔萨斯模型如logistic模型、lesile模型,甚至还有更复杂的模型去解决这类问题。
假如2002年和人口总数量是怕p,则2002年刚出生的人数和死亡的人数就分别是bp和dp,所以2003年初的人口总数将是
p+bp-dp = (1+b-d)p = (1+r)p
这里的r就是人口自然增长率,这个模型是离散的。
P(t+
Δ
\Delta
Δt) - P(t) = rP(t)
Δ
\Delta
Δt
P(t+dt) - P(t) = rP(t)dt
得到以下的微分模型
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)
dtdP(t)=rP(t)
P(t0) = P0
得到人口指数模型
P(t) = P0er(t-t0)
3 Logistic模型
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)
dtdP(t)=rP(t)
P(t0) = P0
(1)以上的r再当下已经不是一个常数了,是一个函数且和当前人口量相关。
r(t) = r(P(t))
改进公式
r(t) = r(P(t)) =
r
(
1
−
P
(
t
)
K
)
r(1-\frac{P(t)}{K})
r(1−KP(t))
P(t0) = P0
Logistic模型
(2)Logistic模型离散化
d
N
d
t
=
r
N
(
1
−
N
K
)
\frac{dN}{dt} = rN(1-\frac{N}{K})
dtdN=rN(1−KN)
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)
dtdP(t)=rP(t)
考虑这个模型的离散化
Δ
N
Δ
t
=
r
N
(
1
−
N
K
)
\frac{\Delta N}{\Delta t} = rN(1-\frac{N}{K})
ΔtΔN=rN(1−KN)
变成了差分方程
令
Δ
N
=
N
(
t
+
1
)
−
N
(
t
)
\Delta N = N(t+1) -N(t)
ΔN=N(t+1)−N(t)
Δ
t
=
1
\Delta t = 1
Δt=1
N
(
t
+
1
)
−
N
(
t
)
=
r
N
(
1
−
N
K
)
N(t+1) - N(t) = rN(1-\frac{N}{K})
N(t+1)−N(t)=rN(1−KN)
这里的时间离散长取为1,每一代就是一个时间步
N
(
t
)
=
(
1
+
r
)
N
(
t
)
−
r
K
)
N
2
(
t
)
N(t)= (1+r)N(t) - \frac{r}{K})N^2(t)
N(t)=(1+r)N(t)−Kr)N2(t)
取定参数K,考虑不同的参数r
r = 1.9
r = 2.2
r = 2.5
r = 2.55
r不断的增大,周期不断的翻倍。出现倍周期现象。
4 Lesile模型
(1)概念
当人口总量一样,分布不一样的时候,以上的模型是不足以分析的。还有一个年龄的分布。
引入一个向量表示年龄分布,N(t) = [n0 n1 … ns]。把年龄分为多少段,就有多少参数。
所以当求某个t时刻的人口数量,计算公式如下图:
假设知道Lj矩阵的特征值和特征向量。
那每个时刻的N一定可以用特征向量的线性组合表示。
假设首特征值大于所有的特征值
首特征值的阿晓和相应的特征向量决定了模型的渐进性质。当首特征值大于1时候,那人口会越长越多,当小于1时,人类会走向灭亡。当等于1时,会进入一个稳态。
(2)一个学者说
所有的模型都是错的,但有些是有用的。模型越来越复杂,是一个不得已的选择。
5 更复杂的模型
(1)引入新的函数,既有t的函数又是年龄a的函数,称为多元函数P(a,t)。也是二元函数
(2)考虑其他因素
比如地域因素。或者其他确定的因素,那就要使用随机模型。推荐的书,包含了各种数学模型。
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