二元函数求极值

定理 2 (充分条件）设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 $, 令

$f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B, f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=C$

则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处是否取得极值的条件如下:
(1) $ A C-B^{2}>0$ 时具有极值, 且当 $ A<0$ 时有极大值, 当 $ A>0$ 时有极小值;
(2) $ A C-B^{2}<0$ 时没有极值;
(3) $ A C-B^{2}=0$ 时可能有极值, 也可能没有极值, 还需另作讨论。

例  求函数 $f(x, y)=x^{3}-y^{3}+3 x^{2}+3 y^{2}-9 x$ 的极值。
解 先解方程组

$\left\{\begin{array}{c} f_{x}(x, y)=3 x^{2}+6 x-9=0 \\ f_{y}(x, y)=-3 y^{2}+6 y=0 \end{array}\right.$

求得驻点为 $ (1,0) 、(1,2) 、 (-3,0) 、 (-3,2) $ 。
再求出二阶偏导数

$f_{x x}(x, y)=6 x+6, f_{x y}(x, y)=0, f_{y y}(x, y)=-6 y+6$

在点 $ (1,0)$ 处, $ A C-B^{2}=12 \cdot 6>0$ 又 $ A>0$ , 所以函数在 $ (1,0)$ 处有极小值 $ f(1,0)=-5$ ; 在点 $ (1,2)$ 处, $ A C-B^{2}=12 \cdot(-6)<0$ , 所以 $  f(1,2) $  不是极值;
在点 $ (-3,0)$ 处, $ A C-B^{2}=-12  \cdot 6<0 $, 所以 $ f(-3,0)$ 不是极值;
在点 $ (-3,2)$ 处, $ A C-B^{2}=-12 \cdot(-6)>0$ 又 $ A<0$ 所以函数在 $ (-3,2)$ 处有极大值 $ f(-3,2)=31$ 。