C++快速排序的分析与优化详解

相信学过数据结构与算法的朋友对于快速排序应该并不陌生，本文就以实例讲述了C++快速排序的分析与优化，对于C++算法的设计有很好的借鉴价值。具体分析如下：

一、快速排序的介绍

快速排序是一种排序算法，对包含n个数的输入数组，最坏的情况运行时间为Θ(n2)[Θ读作theta]。虽然这个最坏情况的运行时间比较差，但快速排序通常是用于排序的最佳的实用选择。这是因为其平均情况下的性能相当好：期望的运行时间为Θ(nlgn)，且Θ(nlgn)记号中隐含的常数因子很小。另外，它还能够进行就地排序，在虚拟内存环境中也能很好的工作。

和归并排序一样，快速排序也是基于分治法（Divideandconquer）：

分解：数组A[p..r]被划分成两个(可能为空)的子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[p..q-1]中的每个元素都小于等于A[q]，A[q+1..r]中的每个元素都大于等于A[q]。这样元素A[q]就位于其最终位置上了。

解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]排序。

合并：因为两个子数组是就地排序，不需要合并，整个数组已有序。

伪代码如下：

PARTITION(A,p,r)
x=A[p]
i=p
forj=p+1tor
doifA[j]<=x
theni=i+1
exchange(A[i],A[j])
exchange(A[p],A[i])
returni

QUICKSORT(A,p,r)
ifp<r
thenq=PARTITION(A,p,r)
QUICKSORT(A,p,q-1)
QUICKSORT(A,q+1,r)

二、性能分析

1、最坏情况

快速排序的最坏情况发生在当数组已经有序或者逆序排好的情况下。这样的话划分过程产生的两个区域中有一个没有元素，另一个包含n-1个元素。此时算法的运行时间可以递归地表示为：T(n)=T(n-1)+T(0)+Θ(n)，递归式的解为T(n)=Θ(n^2)。可以看出，快速排序算法最坏情况运行时间并不比插入排序的更好。

2、最好情况

如果我们足够幸运，在每次划分操作中做到最平衡的划分，即将数组划分为n/2:n/2。此时得到的递归式为T(n)=2T(n/2)+Θ(n)，根据主定理的情况二可得T(n)=Θ(nlgn)。

3、平均情况

假设一：快排中的划分点非常偏斜，比如每次都将数组划分为1/10:9/10的两个子区域，这种情况下运行时间是多少呢？运行时间递归式为T(n)=T(n/10)+T(9n/10)+Θ(n)，使用递归树解得T(n)=Θ(nlgn)。可以看出，当划分点非常偏斜的时候，运行时间仍然是Θ(nlgn)。

假设二：Partition所产生的划分既有“好的”，也有“差的”，它们交替出现。这种平均情况下运行时间又是多少呢？这时的递归式为（G表示Good，B表示Bad）：

G(n)=2B(n/2)+Θ(n)

B(n)=G(n-1)+Θ(n)

解：G(n)=2(G(n/2-1)+Θ(n/2))+Θ(n)=2G(n/2-1)+Θ(n)=Θ(nlgn)

可以看出，当好、差划分交替出现时，快排的运行时间就如全是好的划分一样，仍然是Θ(nlgn)。

三、快排的优化

经过上面的分析可以知道，在输入有序或逆序时快速排序很慢，在其余情况则表现良好。如果输入本身已被排序，那么就糟了。那么我们如何确保对于所有输入，它均能够获得较好的平均情况性能呢？前面的快速排序我们默认使用数组中第一个元素作为主元。假设随机选择数组中的元素作为主元，则快排的运行时间将不依赖于输入序列的顺序。我们把随机选择主元的快速排序叫做RandomizedQuicksort。

在随机化的快速排序中，我们不是始终选择第一个元素作为主元，而是从数组A[p…r]中随机选择一个元素，然后将其与第一个元素交换。由于主元元素是随机选择的，我们期望在平均情况下，对输入数组的划分能够比较对称。

伪代码如下：

RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)
i=RANDOM(p,r)
exchange(A[p],A[i])
returnPARTITION(A,p,r)

RANDOMIZED-QUICKSORT(A,p,r)
ifp<r
thenq=RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)
RANDOMIZED-QUICKSORT(A,p,q-1)
RANDOMIZED-QUICKSORT(A,q+1,r)

我们对3万个元素的有序序列分别进行传统的快速排序和随机化的快速排序，并比较它们的运行时间：

/*************************************************************************
>FileName:QuickSort.cpp
>Author:SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdlib>//srandrand
#include<ctime>//clock_tclock
usingnamespacestd;

voidswap(int&a,int&b)
{
inttmp=a;
a=b;
b=tmp;
}

//传统划分操作
intPartition(intA[],intlow,inthigh)
{
intpivot=A[low];
inti=low;
for(intj=low+1;j<=high;++j)
{
if(A[j]<=pivot)
{
++i;
swap(A[i],A[j]);
}
}
swap(A[i],A[low]);
returni;
}

//随机化划分操作，随机选择pivot
intPartition_Random(intA[],intlow,inthigh)
{
srand(time(NULL));
inti=rand()%(high+1);
swap(A[low],A[i]);
returnPartition(A,low,high);
}

//传统快排
voidQuickSort(intA[],intlow,inthigh)
{
if(low<high)
{
intpos=Partition(A,low,high);
QuickSort(A,low,pos-1);
QuickSort(A,pos+1,high);
}
}

//随机化快速排序
voidQuickSort_Random(intA[],intlow,inthigh)
{
if(low<high)
{
intpos=Partition_Random(A,low,high);
QuickSort_Random(A,low,pos-1);
QuickSort_Random(A,pos+1,high);
}
}

intmain()
{
clock_tt1,t2;
//初始化数组
intA[30000];
for(inti=0;i<30000;++i)
A[i]=i+1;

t1=clock();
QuickSort(A,0,30000-1);
t1=clock()-t1;
cout<<"Traditionalquicksorttook"<<t1<<"clicks(about"<<((float)t1)/CLOCKS_PER_SEC<<"seconds)."<<endl;

t2=clock();
QuickSort_Random(A,0,30000-1);
t2=clock()-t2;
cout<<"Randomizedquicksorttook"<<t2<<"clicks(about"<<((float)t2)/CLOCKS_PER_SEC<<"seconds)."<<endl;

return0;
}

运行结果如下：

[songlee@localhost~]$./QuickSort
Traditionalquicksorttook1210309clicks(about1.21031seconds).
Randomizedquicksorttook457573clicks(about0.457573seconds).
[songlee@localhost~]$./QuickSort
Traditionalquicksorttook1208038clicks(about1.20804seconds).
Randomizedquicksorttook644950clicks(about0.64495seconds).

从运行结果可以看出，对于有序的输入，随机化版本的快速排序的效率会高很多。

问题记录：

我们知道交换两个变量的值有以下三种方法：

inttmp=a;//方法一
a=b;
b=tmp

a=a+b;//方法二
b=a-b;
a=a-b;

a=a^b;//方法三
b=a^b;
a=a^b;

但是你会发现在本程序中，如果swap函数使用后面两种方法会出错。由于方法二和方法三没有使用中间变量，它们交换值的原理是直接对变量的内存单元进行操作。如果两个变量对应的同一内存单元，则经过两次加减或异或操作，内存单元的值已经变为了0，因而不能实现变量值交换。所以当需要交换值的变量可能是同一变量时，必须使用第三变量实现交换，否则会对变量清零。