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数据结构之AVL树详解

数据结构 详解 AVL
2023-06-13 09:15:44 时间

1.概述

AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（logn），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

2.基本术语

有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：
（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2
（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2
（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：
（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置

3.AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操作两两对称，因而也可以说成两类旋转操作。
基本的数据结构：

复制代码代码如下:

typedefstructNode*Tree;
typedefstructNode*Node_t;
typedefTypeint;
 
structNode{
 Node_tleft;
 Node_tright;
 intheight;
 Typedata;
};
intHeight(Node_tnode){
 returnnode->height;
}

3.1LL

LL情况需要右旋解决，如下图所示：


代码为：

复制代码代码如下:

Node_tRightRotate(Node_ta){
 b=a->left;
 a->left=b->right;
 b->right=a;
 a->height=Max(Height(a->left),Height(a->right));
 b->height=Max(Height(b->left),Height(b->right));
 returnb;
}

3.2RR
RR情况需要左旋解决，如下图所示：

代码为：

复制代码代码如下:
Node_tLeftRotate(Node_ta){
 b=a->right;
 a->right=b->left;
 b->left=a;
 a->height=Max(Height(a->left),Height(a->right));
 b->height=Max(Height(b->left),Height(b->right));
 returnb;
}

3.3LR

LR情况需要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，如下图所示：

代码为：

复制代码代码如下:
Node_tLeftRightRotate(Node_ta){
 a->left=LeftRotate(a->left);
 returnRightRotate(a);
}

3.4RL

RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：

代码为：

复制代码代码如下:
Node_tRightLeftRotate(Node_ta){
 a->right=RightRotate(a->right);
 returnLeftRotate(a);
}

4.AVL数的插入和删除操作

(1)插入操作：实际上就是在不同情况下采用不同的旋转方式调整整棵树，具体代码如下：

复制代码代码如下:
Node_tInsert(Typex,Treet){
 if(t==NULL){
   t=NewNode(x);
 }elseif(x<t->data){
   t->left=Insert(t->left);
   if(Height(t->left)-Height(t->right)==2){
    if(x<t->left->data){
     t=RightRotate(t);
    }else{
     t=LeftRightRotate(t);
    }
  }
 }else{
   t->right=Insert(t->right);
   if(Height(t->right)-Height(t->left)==2){
    if(x>t->right->data){
     t=LeftRotate(t);
    }else{
     t=RightLeftRotate(t);
    }
  }
 }
 t->height=Max(Height(t->left),Height(t->right))+1;
 returnt;
}

(2)删除操作：首先定位要删除的节点，然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点，并重新调整以该节点为根的子树为AVL树，具体调整方法跟插入数据类似，代码如下：

复制代码代码如下:
Node_tDelete(Typex,Treet){
 if(t==NULL)returnNULL;
 if(t->data==x){
  if(t->right==NULL){
   Node_ttemp=t;
   t=t->left;
   free(temp);
  }else{
   Node_thead=t->right;
   while(head->left){
    head=head->left;
   }
   t->data=head->data;//justcopydata
   t->right=Delete(t->data,t->right);
   t->height=Max(Height(t->left),Height(t->right))+1;
  }
  returnt;
 }elseif(t->data<x){
  Delete(x,t->right);
  if(t->right)Rotate(x,t->right);
 }else{
  Delete(x,t->left);
  if(t->left)Rotate(x,t->left);
 }
 if(t)Rotate(x,t);
}

5.总结

AVL树是最早的自平衡二叉树，相比于后来出现的平衡二叉树（红黑树，treap，splay树）而言，它现在应用较少，但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

6.参考资料

（1）数据结构（C语言版）严蔚敏，吴伟民著
（2）http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

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