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深入理解堆排序及其分析

分析 深入 理解 及其 堆排序
2023-06-13 09:14:59 时间

记得在学习数据结构的时候一味的想用代码实现算法，重视的是写出来的代码有一个正确的输入，然后有一个正确的输出，那么就很满足了。从网上看了许多的代码，看了之后貌似懂了，自己写完之后也正确了，但是不久之后就忘了，因为大脑在回忆的时候，只依稀记得代码中的部分，那么的模糊，根本不能再次写出正确的代码，也许在第一次写的时候是因为参考了别人的代码，看过之后大脑可以进行短暂的高清晰记忆，于是欺骗了我，以为自己写出来的，满足了成就感。可是代码是计算机识别的，而我们更喜欢文字，图像。所以我们在学习算法的时候要注重算法的原理以及算法的分析，用文字，图像表达出来，然后当需要用的时候再将文字转换为代码。记忆分为三个步骤：编码，存储和检索，就以学习为例，先理解知识，再归纳知识，最后巩固知识，为了以后的应用而方便检索知识。

堆排序过程
堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]]>=A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。

既然是堆排序，自然需要先建立一个堆，而建堆的核心内容是调整堆，使二叉树满足堆的定义（每个节点的值都不大于其父节点的值）。调堆的过程应该从最后一个非叶子节点开始，假设有数组A={1,3,4,5,7,2,6,8,0}。那么调堆的过程如下图，数组下标从0开始，A[3]=5开始。分别与左孩子和右孩子比较大小，如果A[3]最大，则不用调整，否则和孩子中的值最大的一个交换位置，在图1中是A[7]>A[3]>A[8]，所以A[3]与A[7]对换，从图1.1转到图1.2。

所以建堆的过程就是

复制代码代码如下:

for(i=headLen/2;i>=0;i++)

       doAdjustHeap(A,heapLen,i)


建堆完成之后，堆如图1.7是个大根堆。将A[0]=8与A[heapLen-1]交换,然后heapLen减一，如图2.1，然后AdjustHeap(A,heapLen-1,0)，如图2.2。如此交换堆的第一个元
素和堆的最后一个元素，然后堆的大小heapLen减一，对堆的大小为heapLen的堆进行调堆，如此循环，直到heapLen==1时停止，最后得出结果如图3。

复制代码代码如下:


/*
    输入：数组A，堆的长度hLen，以及需要调整的节点i
    功能：调堆
 */

 voidAdjustHeap(intA[],inthLen,inti)
 {
    intleft=LeftChild(i); //节点i的左孩子
    intright=RightChild(i);//节点i的右孩子节点
    intlargest=i;
    inttemp;

    while(left<hLen||right<hLen)
    {
        if(left<hLen&&A[largest]<A[left])
        {
            largest=left;
        }

        if(right<hLen&&A[largest]<A[right])
        {
            largest=right;
        }

        if(i!=largest)  //如果最大值不是父节点
        {
             temp=A[largest];//交换父节点和和拥有最大值的子节点交换
             A[largest]=A[i];
             A[i]=temp;

            i=largest;        //新的父节点，以备迭代调堆
            left=LeftChild(i); //新的子节点
            right=RightChild(i);
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
 }

 /*
    输入：数组A，堆的大小hLen
    功能：建堆
 */
 voidBuildHeap(intA[],inthLen)
 {
    inti;
    intbegin=hLen/2-1; //最后一个非叶子节点
    for(i=begin;i>=0;i--)
    {
        AdjustHeap(A,hLen,i); 
    }
 }

 /*
    输入：数组A，待排序数组的大小aLen
    功能：堆排序
 */
 voidHeapSort(intA[],intaLen)
 {
    inthLen=aLen;
    inttemp;

    BuildHeap(A,hLen);     //建堆

    while(hLen>1)
    {
        temp=A[hLen-1];   //交换堆的第一个元素和堆的最后一个元素
        A[hLen-1]=A[0];
        A[0]=temp;
        hLen--;       //堆的大小减一
        AdjustHeap(A,hLen,0); //调堆
    }
 }

性能分析
•调堆：上面已经分析了，调堆的运行时间为O(h)。
•建堆：每一层最多的节点个数为n1=ceil(n/(2^(h+1))),

因此，建堆的运行时间是O(n)。
•循环调堆（代码67-74），因为需要调堆的是堆顶元素，所以运行时间是O(h)=O(floor(logn))。所以循环调堆的运行时间为O(nlogn)。
总运行时间T(n)=O(nlogn)+O(n)=O(nlogn)。对于堆排序的最好情况与最坏情况的运行时间，因为最坏与最好的输入都只是影响建堆的运行时间O(1)或者O(n)，而在总体时间中占重要比例的是循环调堆的过程，即O(nlogn)+O(1)=O(nlogn)+O(n)=O(nlogn)。因此最好或者最坏情况下，堆排序的运行时间都是O(nlogn)。而且堆排序还是原地算法（in-placealgorithm）。

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