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【数字信号处理】相关函数应用 ( 相关函数应用场景 | 噪声中检测信号原理 )

应用原理 函数 数字 检测 场景 相关 信号
2023-06-13 09:18:01 时间

文章目录

一、相关函数应用场景

求下面信号的 " 自相关函数 " :

x(n) = \sin(2\pi fn) + N(n)

其中

N(n)

为 高斯白噪声 ;

高斯白噪声 符合 正态分布 特性 , 其 均值为

0

, 方差为

1

, 其功率谱密度是白的 , 在所有的频率上 , 其功率都相同 ;

令

s(n) = \sin(2\pi fn)

则有

x(n) = s(n) + N(n)

自相关函数 公式为 :

r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m)

代入

x(n) = s(n) + N(n)

, 求该信号的自相关函数 , 由于都是 实型号 , 不存在共轭 , 式子变为 :

r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [s(n) + N(n)] [s(n + m) + N(n + m)]

展开式子 :

r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [s(n) s(n + m) + N(n) s(n + m) +s(n)N(n + m) +N(n)N(n + m) ]

进一步将加和符号展开 :

r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) s(n + m) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty}N(n) s(n + m) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(n)N(n + m) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty}N(n)N(n + m)

其中 :

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) s(n + m) = r_s(m)
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} N(n) s(n + m) = r_{Ns}(m)
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n)N(n + m) = r_{sN}(m)
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} N(n)N(n + m) = r_{N}(m)

最终得到结果 :

r_x(m) = r_s(m) + r_{Ns}(m) + r_{sN}(m) + r_{N}(m)
r_{Ns}(m) \approx 0

,

r_{sN}(m) \approx 0

,

r_{N}(m) = 白噪声方差

;

因此有

r_{x}(m) = r_s(m) + r_N(m)

;

由于 高斯白噪声是随机的 ,

噪声信号 是 功率信号 , 在

m = 0

时 , 是完全相关的 , 相关函数值就是功率值 ,

但是只要

m

不为

0

, 噪声信号错开了一点 , 那就是完全不相关了 ,

自相关函数 与 功率谱密度 是一对 傅里叶变换对 , 如果自相关函数具备该特点 ,

在

m = 0

时 , 相当于

\delta(n)

信号 ,

\delta(n)

信号的傅里叶变换为

1

, 其在所有的频率上其 功率密度函数 都是

1

, 在所有的频率上都是有功率分布的 ;

在噪声中检测信号 ,

r_N(m)

只有在

m=0

时有值 ,

一旦

m

增加或减小 ( 绝对值增加 ) , 该

r_N(m)

值会趋于

0

,

剩下的那个就可以检测出来了 ;

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