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【运筹学】对偶理论 : 总结 ( 对偶理论 | 原问题与对偶问题对应关系 | 对偶理论的相关结论 ) ★★★

问题 总结 相关 关系 理论 对应 运筹学 对偶
2023-06-13 09:17:48 时间

文章目录

一、对偶理论

1、对称性定理

对称性定理 :

  • 原问题 (
LP

) 的 对偶 是 对偶问题 (

DP

)

  • 对偶问题 (
DP

) 的 对偶 是 原问题 (

LP

)

原问题 和 对偶问题 互为对偶 ;

对偶问题是对称的

原问题

LP

:

\begin{array}{lcl} maxZ = C X \\\\ s.t\begin{cases} AX \leq b \\\\ X \geq 0 \end{cases}\end{array}

对偶问题

DP

:

\begin{array}{lcl} minW = b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array}

2、弱对偶定理

弱对偶定理 :

假设

\rm X^0

和

\rm Y^0

分别是 问题

\rm (P)

( 目标函数求最大值 ) 和 问题

\rm (D)

( 目标函数求最小值 ) 的 可行解 , 则必有

\rm CX^0 \leq Y^0 b

,

展开后为

\rm \sum_{j = 1}^n c_j x_j \leq \sum_{i = 1}^{m} y_i b_i

弱对偶定理推论 1 :

原问题 任何一个 可行解 的目标函数值 , 都是其对偶问题 目标函数值的下界 ;

反之 ,

对偶问题 任何一个 可行解 的目标函数值 , 都是其原问题 目标函数的上界 ;

弱对偶定理推论 2 : ( 对偶问题的无界性 )

在一对 对偶问题

\rm (P)

和

\rm (D)

中 ,

如果其中 一个线性规划问题可行 , 但是 目标函数无界 , 则 另外一个问题没有可行解 ;

如果其中 一个线性规划问题不可行 , 其 对偶问题不一定不可行 ;

弱对偶定理推论 3 :

在一对 对偶问题

\rm (P)

和

\rm (D)

中 ,

如果其中 一个线性规划问题可行 , 而 另一个线性规划问题不可行 , 则 该可行问题的目标函数是无界的;

3、最优性定理

最优性定理 :

如果

\rm X^0

是 原问题的可行解 ,

\rm Y^0

是 对偶问题的可行解 ,

并且 两个可行解对应的目标函数值相等 , 即

\rm CX^0 = BY^0

, 即

\rm z = w

,

则

\rm X^0

是原问题的最优解 ,

\rm Y^0

是对偶问题的最优解 ;

4、强对偶性

强对偶性 : 如果 原问题 与 对偶问题 都有可行解 , 只要有一个问题有最优解 , 则 两个问题都有最优解 , 二者的最优解的目标函数值相等 ;

5、互补松弛定理

\rm X^0

和

\rm Y^0

分别是 原问题

\rm P

问题 和 对偶问题

\rm D

的 可行解 ,

这两个解各自都是对应 线性规划问题 的 最优解

的 充要条件是 :

\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}

其中

\rm X_s , Y_s

是 松弛变量 或 剩余变量 ;

互补松弛定理简写 :

"

\rm X^0

和

\rm Y^0

分别是 原问题

\rm P

问题 和 对偶问题

\rm D

的 最优解 "

\Leftrightarrow
\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}

其中

\rm X_s , Y_s

是 松弛变量 或 剩余变量 ;

二、原问题与对偶问题对应关系

原问题与对偶问题对应关系 :

如果 原问题 有最优解 , 对偶问题也 有最优解 ;

如果 原问题 有 无界解 , 对偶问题 无可行解 ;

如果 原问题 无可行解 , 对偶问题 无法判断 ;

上述是根据弱对偶定理总结的 ;

二、对偶理论的相关结论

1、对偶问题存在

任何 线性规划问题 , 都有一个对应的 对偶线性规划问题 ;

2、对偶问题转化

原问题

\rm P

:

\begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array}

;

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,

对偶问题

\rm D

:

\begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array}

原问题与对偶问题对应关系 :

原问题第

i

个约束条件是

\leq

约束 , 其对偶问题的第

i

个变量的符号不确定 , 可能大于等于

0

, 也可能小于等于

0

;

查看 约束变量的符号 与 其另外一个对偶问题的 约束方程的符号 一致性 , 来确定对偶问题的约束方程符号 ;

约束方程符号 :

如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是

\geq

, 因此 对偶问题的约束方程符号 与 原问题变量 符号一致 ;

如果当前线性规划问题 目标函数是求最小值 , 原问题就是下面的问题 , 其对偶问题 ( 上面的 ) 的约束方程符号是

\leq

, 因此 对偶问题的约束方程符号 与 原问题变量 符号相反 ;

变量符号 :

如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是

\geq

, 因此 对偶问题的变量符号 与 原问题约束方程符号 符号相反 ;

如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是

\geq

, 因此 对偶问题的变量符号 与 原问题约束方程符号 符号一致 ;

3、对偶问题的解

① 互为对偶的两个问题 , 或者同时都有最优解 , 或者同时都没有最优解 ;

② 对偶问题 有可行解 , 原问题 不一定有可行解 , 因为对偶问题的可行解可能是 无界解 , 原问题可能 无可行解 ;

③ 原问题有 多重解 , 对偶问题 可能有多重解 , 也 可能有唯一解 ; 多重解是 有无穷多最优解 ;

④ 对偶问题 有可行解 , 原问题 无可行解 , 则对偶问题 有无界解 ; 一对问题中 , 一个有可行解 , 一个无可行解 , 则有可行解的是无界解 ;

⑤ 原问题 没有最优解 , 对偶问题无法判断 ; 没有最优解有两种情况 , 一种是 无界解 , 一种是 无可行解 ; 如果原问题有无界解 , 则对偶问题无可行解 ; 如果原问题无可行解 , 则对偶问题无可行解 ;

⑥ 如果对偶问题没有可行解 , 对偶问题无法判断 , 无界解 或 无可行解 两种情况都有可能 ;

⑦ 如果原问题与对偶问题 都有可行解 , 则 都有最优解 ;

如果 原问题 有最优解 , 对偶问题也 有最优解 ;

如果 原问题 有 无界解 , 对偶问题 无可行解 ;

如果 原问题 无可行解 , 对偶问题 无法判断 ;

4、互补松弛定理

如果

\rm X^0

和

\rm Y^0

分别是原问题与对偶问题的最优解 , 则

\rm Y^0 X_s = Y_sX^0 = 0

;

"

\rm X^0

和

\rm Y^0

分别是 原问题

\rm P

问题 和 对偶问题

\rm D

的 最优解 "

\Leftrightarrow
\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}

其中

\rm X_s , Y_s

是 松弛变量 或 剩余变量 ;

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