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• 一、NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★
• 二、布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路

一、NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★

布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem , SAT ) , 是历史已经找到了一个

完全问题 ;

布尔逻辑公式 : 原子命题变元

通过 联结词 合取

, 析取

, 否定

, 将这些变元联结在一起 , 得到一个布尔逻辑公式 ;

参考 离散数学 - 数据逻辑 - 命题与联结词 博客 : 【数理逻辑】命题和联结词 ( 命题 | 命题符号化 | 真值联结词 | 否 | 合取 | 析取 | 非真值联结词 | 蕴涵 | 等价 )

布尔逻辑公式可满足 , 指的是 存在一个赋值 , 该赋值是从原始命题到真和假的映射 , 是语法到语义的纽带 , 该赋值使得布尔逻辑公式取值为真 , 则称该 布尔逻辑公式可满足 ;

存在一个赋值 , 使得布尔逻辑公式为真 , 该布尔逻辑公式就是可满足的 ;

将 所有 可满足的布尔逻辑公式 , 放在一起 , 组成一个整体 , 称为 布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem , SAT ) ;

布尔可满足性问题 是

完全的 ;

二、布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路

布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 :

① 首先证明 布尔可满足性问题 是

问题 ;

证明该步骤 , 只需要验证 , 给定布尔逻辑公式 , 给定一个赋值 , 验证该公式在该赋值的情况下 , 取值为真即可 ;

验证过程所花的时间与联结词个数有关 , 联结词的个数 , 肯定布会超过布尔逻辑公式的长度 ,

验证所花费的时间一定是 多项式时间 ,

因此 布尔可满足性问题 在

中 ;

② 再证明 布尔可满足性问题

是最难的

问题 ;

将 布尔可满足性问题 与

中每个计算问题 进行比较 ,

证明

中的任何计算问题 , 其难易程度 , 布会超过 布尔可满足性问题 ,

即

中的任何计算问题 , 都可以在 多项式时间规约到

, 即

,

该证明是很难的 ;

从

中 任选一个计算问题

,

是

的 , 一定存在一个 非确定性图灵机 可以判定 ( 解决 ) 该问题 , 该 非确定性图灵机 的计算复杂度一定是个多项式

,

证明该问题

一定可以在 多项式时间规约到

, 符号化表示 :

,

给定一个 字符串

, 可以被 非确定性图灵机

接受 , 从 字符串

和 非确定性图灵机

出发 , 在 多项式时间 内构造出一个逻辑公式 ,

非确定性图灵机

接受 字符串

, 当且仅当 构造出的逻辑公式是可满足的 ;

构造该逻辑公式 :

构造如下表格 , 将整个 非确定性图灵机

在字符串上作一个计算 , 计算的分支 , 通过一个表格装进去 ;

表格的 长和宽 都是

,

使用 布尔逻辑公式 表达该表格 , 使得它可以满足一定的条件 ;

引入如下概念 :

引入字符集 :

是非确定性图灵机 , 其中

是

的状态集 ,

( 伽马 ) 是

的带子的字符集 , 则有 字符集

;

引入原子命题变元 :

, 其中

都是

区间内的值 , 每个

都是 字符集

中的字符 ;

上述

变元的含义是 , 如果该命题变元

取值为真 , 当且仅当

格子 ( 水平为

, 垂直为

的格子 Cell ) 对应的字符是

;

得到布尔逻辑公式 : 上述表格中的格子中 , 任何格子 , 只包含一个字符 , 并且只能包含一个字符 , 该公式的长度是多项式长度 ; 公式如下 :

开始格局 : 表格中的第一行是 开始格局 , 在所有的表格中 , 一定包含了一个接受格局 , 其中一定包含了有一个状态 , 是接受状态 ;

转换函数 : 存在一个

的窗口 , 如果是合法的话 , 该表格中的内容 , 刚好是 非确定性图灵机 的 计算树 中的计算分支内容 ;

合并命题公式集合 : 将上述构造出的所有的命题公式 , 放在一起 , 就得到如下公式 :

的长度是 多项式长度 ,

可以将

中的任何计算问题 在 多项式时间中规约到

问题 ( 布尔可满足性问题 ) , 布尔可满足性问题 是

中最难的问题 , 因此该问题是

完全问题 ;