C++：二叉搜索树
⭐前言：学习二叉搜索树，是我们学好map和set的前提，因为二叉搜索树是map和set的特性。因此本篇文章意在努力将二叉搜索树相关的内容较完善地写出来！
二叉搜索树的介绍
二叉搜索树(BST, Binary Search Tree)又叫做二叉排序树，它可以是一颗空树，其性质如下：
①若它的左子树不为空，则左子树上所有的节点的值都小于根节点的值
②若它的右子树不为空，则右子树上所有的节点的值都大于根节点的值
③它的左右子树也分是二叉搜索树
④成形的二叉搜索树一般不能用来修改数据。因为一旦修改了，就可能不再是二叉搜索树了。
对二叉搜索树的操作
1. 查找：
①一般查找某个数据，就先根节点的值比较，若是查找的数据val小于根节点，那就去左子树找，val大于根节点的值，那就去右子树找。 ②最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
2.插入：
①如果是一颗空树，那么直接新增节点，赋值给root指针 ②不是空树，则按二叉搜索树的性质插入数据
3.删除：
删除的情况就比较复杂，我们慢慢来看。
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：
①要删除的节点无孩子结点。
操作：这种情况比较简单，删除该节点后，让该节点的父亲节点指向该节点的左孩子节点或右孩子节点。都可以，因为都是空指针。
②要删除的节点只有左孩子节点.
操作：删除该节点后，让该节点的父亲节点指向该节点的左孩子节点
③要删除的节点只有右孩子节点
操作：删除该节点收，让该节点的父亲节点指向该节点的右孩子节点
④要删除的节点有左右孩子。
第一种操作是替换法。 根据二叉搜索树的性质，右子树的值 > 根节点的值 > 左子树的值。因此，替换的意思是，重新选根，那么我们可以从左子树中选最大的那个来当新根，也可以从右子树中选最小的那个来当新根。这里我们使用右子树最小的那个来当新根。 当替换之后，我们就将这个节点删除，删除的时候需要注意，让其父亲节点指向它的右孩子，因为它可能还会带有右孩子。不可能是左孩子，如果是左孩子，那么寻找新根的行为还会往下，会找到最左，即最小的那个节点。
第二种操作是：使用交换法。将右子树最小的值，跟需要删除的节点的值交换。这也在删除之后就不会毁掉二叉搜索树的结构。然后转化到在右子树上删除节点。不过这种方法需要用到递归。
二叉搜索树的实现
这一步主要实现的是上面所提到的相关操作。
①先来创建节点。
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};然后是框架的准备：
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
private:
Node* _root = nullptr;
};
}②插入操作
非递归版：
先判断是否为空树，如果是，直接插入。如果不是空树，那么需要两个指针，一个是cur指针，用来找插入的位置，一个是parent指针，用来记录父节点，因为后面需要重新链接。
当发现树中已经有了相同的值，那么就直接返回false。
在链接新节点的时候，需要再重新判断一下这个节点的值是否大于父节点的值。
//非递归插入
bool Insert(const K& key)
{
//1.先判断是否为空树，如果是，直接插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//2.不是空树
Node* cur = _root;
Node* parent = cur;//用于记录父节点，删除后需要链接被删除节点的孩子节点
//开始找可以插入数据的位置
while (cur)
{
if (cur->_key < key)//插入的值比较大，则去右子树找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)//插入的值比较小，则去左子树找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else //如果发现已经有这个值了，那么直接返回false;
{
return false;
}
}
//找到可以插入的位置后
cur = new Node(key);
//链接操作，由于此时不知道cur来到的位置是左孩子还是右孩子，因此还需要再判断一次
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}递归版：
由于递归，需要用到私有成员变量_root，但私有成员变量不能暴露 出来。因此，这里选择私有插入操作的函数，在公有中额外写一个插入的函数用于调用它。
这里的递归，我认为它是一个点睛之笔，那就是Node*& root。对传入的节点的指针进行了引用！
对传入的节点的指针进行引用，意味着此时的root，是上一个root的左孩子或右孩子的别名，当此时的root到达了空指针，进行插入数据的操作后，就意味着是上一个root的左孩子或右孩子进行了插入数据！就不需要记录父节点来链接了，因为在插入数据的时候就已经链接成功了！
public:
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
private:
//注意这里的引用，这是这里的递归操作的点睛之笔
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
//老规矩，先判断是否为空树
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
//不是空树，就去找位置
if (root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else if (root->_key > key)
return _InsertR(root->_left, key);
else
return false;
}③删除操作
非递归版本
非递归的版本代码量比递归版本的多。
代码的思路是：①先找到要删除的节点。②然后判断这个要被删除的节点是如何的，是只有左子树，还是只有右子树，还是左右孩子都有。另外，叶子节点被包含在了前两个情况里面。③如果是左右孩子都有的节点，那么还需要找以这个被删除的节点为根，找它右子树的最小值，然后让这个值跟被删除的节点的值替换，此时在逻辑上，被替换掉的不仅仅是值，连要删除的节点也被替换掉了，被替换成这个右子树的最小值的节点了。④接着在链接的时候，需要判断被删除的节点是父节点的左孩子还是右孩子。
需要注意的额外情况是：被删除的节点可能是根节点。
//非递归
bool Erase(const K& key)
{
//用父节点来记录被删的节点的父节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//先找要删除的节点
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cut = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else //找到了
{
//1.要删除的节点的左子树为空
//2.右子树为空
//3.左右都不为空，替换删除
//1.左子树为空--让父节点链接要删除节点的右子树
if (cur->_left == nullptr)
{
//还要判断一下要删除的节点是否为根节点
if (cur == root)
{
_root = cur->_right;
}
else //删除的节点不是根节点
{
//判断一下要删除的节点是父节点的左孩子还是右孩子
//如果是左孩子，那么就让父节点的左孩子指针链接被删除节点的右子树
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else//如果是右孩子，那么就让父节点的右孩子指针链接被删除节点的右子树
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;//最后删除节点
}
else if(cur->_right==nullptr)//右子树为空----让父节点链接被删除节点的左子树
{
if (root == cur)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else//3.左右孩子都不为空---替换法
{
//要找到右子树的最小节点
Node* parent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
parent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
//将根节点的值替换掉
cur->_key = minRight->_key;
//然后删除这个最小的节点
//如果它是父节点的左孩子，那就让父节点的左孩子的指针指向它的右孩子
//因为它已经是最左的那个了，没有左孩子了，可能会有右孩子
if (minRight == parent->_left)
{
parent->_left = minRight->_right;
}
else//右子树的最小节点，不一定是最左的节点。
{
parent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}递归的版本：
代码的思路是：①需要先判断树是否为空。②找要删除的节点。③找到后，判断这个节点是那种情况，然后进行链接。如果是左右都有孩子的节点，那么就使用交换法，让右子树最小值跟要删除的节点的值交换，此时原本要删除的那个节点，从物理上变成了原本的右子树的最小值的节点。然后通过递归，去右子树找这个节点。最后进行链接节点的右孩子或左孩子，最后删除。
public:
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
private:
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
{
return _Erase(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _Erase(root->_left, key);
}
else
{
Node* del = root;
if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
else//左右孩子都不为空---交换法
{
Node* minRight = root->_right;
while (minRight->_left)
{
minRight->_left;
}
//交换值
swap(root->_key, minRight->_key);
//交换后，此时原本要是删除的key，去到了minRight的节点上
//接下来进行递归，交给右子树去找这个节点
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}④查找
查找的操作很简单。
非递归版本：
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return true;
}
return false;
}递归版本：
public:
bool FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
private:
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
return _FindR(root->_right, key);
if (root->_key > key)
return _FindR(root->_left, key);
else
return true;
}⑤.中序遍历
中序遍历的顺序是左根右。学过简单数据结构中的二叉树的话，这里就洒洒水啦！
public:
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}⑥构造函数
不需要写什么构造函数，只需用初始化列表初始化一下私有成员变量_root即可。
BSTree()
:_root(nullptr)
{}⑦拷贝构造
写一个Copy函数，返回值是Node*，也就是返回节点的指针。先创建一个新的节点，赋值为拷贝目标的根的值，然后让其左孩子和右孩子递归，链接下一个值。
public:
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
private:
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}⑧赋值
operator=()函数的话，不要传引用，然后交换一下_root即可。注意这里有些隐藏条件：this指针的_root必须初始化成空指针。
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}⑨析构函数
public:
~BSTree()
{
Destory(_root);
_root = nullptr;
}
private:
void Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
}二叉搜索树的应用
1.K模型
K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
用若干个单词（字典）组成一棵二叉搜索树， 然后在里面查找单词word，找到返回true，找不到返回false;
2.KV模型
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。
只需在上面的代码的基础上，加上一个_value即可。
namespace KV
{
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, T>* _left;
BSTreeNode<K, T>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_Inorder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
KV::BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("right", "右边");
string str;
while (cin >> str)
{
KV::BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "无此单词" << endl;
}
}再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
// 统计水果出现的次数
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "香蕉", "草莓","苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
KV::BSTree<string, int> countTree;
for (auto e : arr)
{
auto* ret = countTree.Find(e);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(e, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.Inorder();二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，树是平衡的，则n个节点的二叉搜索树的高度为
,其查找效率为
，近似于折半查找.其平均比较次数为：O(long(N))
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，深度达到N，其平均比较次数为:O(N)。