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【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换实例 | 矩形窗函数 | 傅里叶变换 | 傅里叶变换幅频特性 | 傅里叶变换相频特性 )

实例序列 函数 数字 信号处理 变换 傅里叶 矩形
2023-06-13 09:18:01 时间

文章目录

一、序列傅里叶变换实例

求序列

x(n) = R_N(n) \ \ \ \ ①

的 序列傅里叶变换 SFT ;

1、傅里叶变换

傅里叶变换公式 : 根据

x(n)

序列 求

X(e^{j\omega}) 傅里叶变换

,

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ②

将 ① 带入到 ② 傅里叶变换 公式中 ,

n

的取值范围是

[0, N-1]

,

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}

根据 " 等比级数求和 " 公式 ,

S_n = a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n = \cfrac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q}

, ( 公比为 q ) , 一共有

N

项 ,

X(e^{j\omega}) = \cfrac{1-e^{-j\omega n}}{1-e^{-j\omega}}

写成如下样式 , 是为了方便编程 ,

X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}

矩形窗序列 方便 计算机处理 , 将序列截断后只处理有限个序列比较容易 ,

将 信号 取一段数据 , 相当于 信号 乘以 矩形窗序列 ;

SFT[R_N(n)] = N \ \ \ \ \omega = 0
SFT[R_N(n)] = 0 \ \ \ \ \omega = \cfrac{2\pi k}{N} , k = \pm1 , \pm2 , \cdots

绘制

SFT[R_N(n)]

的坐标图 , 假设

N = 4

,

  • 当
\omega = 0

时 ,

SFT[R_4(n)] = 4
  • 当
\omega = \cfrac{2\pi k}{N} = \cfrac{2\pi k}{4} = \cfrac{\pi k}{2}

时 ,

SFT[R_4(n)] = 0

, 第一个点是

\cfrac{\pi}{2}

, 第二个点是

\pi

, 如下图所示 ;

2、傅里叶变换幅频特性

幅频特性 : 在 matlab 中绘制效果如下 , matlab 中取模后再绘制 ;

3、傅里叶变换相频特性

相频特性 : matlab 中绘制其 相频特性 ,

相频特性 , 主要看

X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}

中的

e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}}

的正负号 ,

N

如果确定了 ,

\cfrac{N-1}{2}

是常数 , 因此整个曲线是线性的 ,

锯齿形突变是因为 计算

\cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}

时 , 正负号突然改变 ;

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