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【数理逻辑】命题逻辑的等值演算与推理演算 ( 命题逻辑 | 等值演算 | 主合取 ( 析取 ) 范式 | 推理演算 ) ★★

范式 推理 等值 数理逻辑 演算 命题逻辑 析取
2023-06-13 09:17:48 时间

文章目录

参考博客 :

一、 命题逻辑基本概念

命题逻辑基本概念

  • 命题逻辑联结词
  • 真值表
  • 命题逻辑类型 : 可满足式 , 永真式 , 永假式 ;

1 . 命题公式 组成 :

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果

A

是命题公式 , 则

(\lnot A)

也是命题公式 ;

③ 如果

A,B

是命题公式 , 则

(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)

也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

2 . 联结词 :

原子命题 :

p , q , r

表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

  • 真 :
1

表示 命题真值 为真 ;

  • 假 :
0

表示 命题真值 为假 ;

联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

  • 否定联结词 :
\lnot
  • 合取联结词 :
\land

,

p \land q

,

pq

同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;

  • 析取联结词 :
\lor

,

p \lor q

,

pq

同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;

  • 蕴涵联结词 :
\to

,

p \to q

,

p

真

q

假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;

  • 等价联结词 :
\leftrightarrow

,

p \leftrightarrow q

,

pq

真值相同时为真 , 表示等价成立 ,

pq

真值相反时为假 , 等价不成立 ;

联结词优先级 :

“

\lnot

” 大于 “

\land , \lor

” 大于 “

\to, \leftrightarrow

”

\land , \lor

优先级相同 ;

\to, \leftrightarrow

优先级相同 ;

3 . 命题逻辑类型 :

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;

4 . 简单命题形式化 :

参考 : 复合命题 与 命题符号化

定义命题 : 使用

p,q

代表真假必居其一的陈述句 ;

使用联结词 : 然后使用联结词联结这些

p,q

命题 ;

参考博客 :

二、 等值演算

等值式概念 :

A , B

是两个命题公式 , 如果

A \leftrightarrow B

是永真式 , 那么

A,B

两个命题公式是等值的 , 记做

A \Leftrightarrow B

;

等值演算置换规则 :

A

和

B

两个命题公式 , 可以 互相代替 , 凡是出现

A

的地方都可以替换成

B

, 凡是出现

B

的地方都可以替换成

A

;

基本运算规律 :

  • 1. 幂等律 :
A \Leftrightarrow A \lor A

,

A \Leftrightarrow A \land A
  • 2. 交换律 :
A \lor B \Leftrightarrow B \lor A

,

A \land B \Leftrightarrow B \land A
  • 3. 结合律 :
(A \lor B ) \lor C \Leftrightarrow A \lor (B \lor C)

,

(A \land B ) \land C \Leftrightarrow A \land (B \land C)
  • 4. 分配律 :
A \lor (B \land C) \Leftrightarrow ( A \lor B ) \land ( A \lor C )

,

A \land (B \lor C) \Leftrightarrow ( A \land B ) \lor ( A \land C )

新运算规律 :

  • 5. 德摩根律 :
\lnot ( A \lor B ) \Leftrightarrow \lnot A \land \lnot B

,

\lnot ( A \land B ) \Leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B
  • 6. 吸收率 :
    • 前者将后者吸收了 :
    A \lor ( A \land B ) \Leftrightarrow A
    • 后者将前者吸收了 :
    A \land ( A \lor B ) \Leftrightarrow A

    ;

0 , 1

相关的运算律 :

  • 7. 零律 :
A \lor 1 \Leftrightarrow 1

,

A \land 0 \Leftrightarrow 0
  • 8. 同一律 :
A \lor 0 \Leftrightarrow A

,

A \land 1 \Leftrightarrow A
  • 9. 排中律 :
A \lor \lnot A \Leftrightarrow 1
  • 10. 矛盾律 :
A \land \lnot A \Leftrightarrow 0

对偶原理适用于上述运算律 , 将两边的

\land , \lor

互换 , 同时

0 ,1

互换 , 等价仍然成立 ;

等价蕴含运算规律 :

  • 11. 双重否定率 :
\lnot \lnot A \Leftrightarrow A
  • 12. 蕴涵等值式 :
A \to B \Leftrightarrow \lnot A \lor B
  • 13. 等价等值式 :
A \leftrightarrow B \Leftrightarrow ( A \to B ) \lor ( B \to A )
  • 14. 等价否定等值式 :
A \leftrightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \leftrightarrow \lnot B
  • 15. 假言易位 ( 逆否命题 ) :
A \to B \Leftrightarrow \lnot B \to \lnot A
  • 16. 归谬论 ( 反证法 ) :
( A \to B ) \land ( A \to \lnot B ) \Leftrightarrow \lnot A

参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )

三、 主合取 ( 析取 ) 范式

1 . 极小项

极小项 : 极小项 是 一种 简单合取式 ;

  • 1.前提 ( 简单合取式 ) : 含有
n

个 命题变项 的 简单合取式 ;

  • 2.命题变项出现次数 : 每个命题变项 均 以 文字 的 形式 在其中出现 , 且 仅出现 一次 ;
  • 3.命题变项出现位置 : 第
i

(

1 \leq i \leq n

) 个文字出现在 左起 第

i

个位置 ;

n

是指命题变项个数 ;

  • 4.极小项总结 : 满足上述三个条件的 简单合取式 , 称为 极小项 ;
  • 5.
m_i

与

M_i

之间的关系 : ①

\lnot m_i \iff M_i

②

\lnot M_i \iff m_i

每个命题 按照指定顺序 , 且 只出现一次 的 简单合取式 , 称为极小项 ;

极小项列出的是成真赋值 , 因为合取式只有一种情况成真 , 那就是全真 ;

2 . 极大项

关于 极大项 的 说明 :

  • 1.极大项个数 :
n

个 命题变元 会 产生

2^n

个 极大项 ;

  • 2.互不等值 :
2^n

个极大项 均 互不等值 ;

  • 3.极大项 :
m_i

表示 第

i

个极大项 , 其中

i

是该极大项 成假赋值 的 十进制表示 ;

  • 4.极大项名称 : 第
i

个极大项 , 称为

M_i

;

  • 5.
m_i

与

M_i

之间的关系 : ①

\lnot m_i \iff M_i

②

\lnot M_i \iff m_i

每个命题 按照指定顺序 , 且 只出现一次 的 简单析取式 , 称为极小项 ;

极大项列出的是成假赋值 , 因为析取式只有一种情况成假 , 那就是全假 ;

3 . 主合取 ( 析取 ) 范式

① 列出要求 主合取 ( 析取 ) 范式 的真值表 ;

p , q , r

三个命题真值从

0,0,0

到

1,1,1

, 有

2^3 = 8

列 , 每一列分别对应

m_0 \sim m_8

极小项 ,

M_0 \sim M_8

极大项 ;

② 主析取范式 ( 取极小项 ) : 真值表中的真值为

1

的列 取 极小项 ; 极小项 成真赋值 ; 根据极小项下标与成真赋值可以列出极小项的命题公式 ;

③ 主合取范式 ( 取极大项 ) : 真值表中的真值为

0

的列 取 极大项 ; 极大项 成假赋值 ; 根据极大项下标与成假赋值可以列出极大项的命题公式

4 . 总结 :

极小项 : 合取式 , 成真赋值 , 计算时取真值表 真 列 ;

极大项 : 析取式 , 成假赋值 , 计算时取真值表 假 列 ;

参考博客 : 【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 )

四、 推理演算

推理的形式结构

前提 :

A_1 , A_2 , \cdots , A_k

结论 :

B

推理的形式结构为 :

(A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B

推理定律 :

A,B

是两个命题 , 如果

A \to B

是永真式 , 那么

A \Rightarrow B

;

1、附加律

附加律 :

A \Rightarrow (A \lor B)

根据 推理定律 ,

A \to (A \lor B)

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A

结论 :

A \lor B
A

是对的 , 那么

A \lor B

也是对的 , 后者是在前者基础上附加了一个

B

;

2、化简律

化简律 :

( A \land B ) \Rightarrow A

,

( A \land B ) \Rightarrow B

根据 推理定律 ,

( A \land B ) \to A

,

( A \land B ) \to B

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \land B

结论 :

A

或

B
A \land B

是对的 , 那么

A

或

B

也是对的 , 后者是在前者基础上进行了化简 ;

3、假言推理

假言推理 :

( A \to B ) \land A \Rightarrow B

根据 推理定律 ,

( A \to B ) \land A \to B

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \to B

,

A

结论 :

B

这是个典型的小三段论 ;

4、拒取式

拒取式:

( A \to B ) \land \lnot B \Rightarrow \lnot A

根据 推理定律 ,

( A \to B ) \land \lnot B \to \lnot A

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \to B

,

\lnot B

结论 :

\lnot A

可以理解为是反证法 ;

5、析取三段论

析取三段论 :

( A \lor B ) \land \lnot A \Rightarrow B

,

( A \lor B ) \land \lnot B \Rightarrow A

根据 推理定律 ,

( A \lor B ) \land \lnot A \to B

,

( A \lor B ) \land \lnot B \to A

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \lor B

,

\lnot A

结论 :

B
(A \lor B)

是正确的 , 其中

A

是错误的 , 那么

B

肯定是正确的 ;

(A \lor B)

是正确的 , 其中

B

是错误的 , 那么

A

肯定是正确的 ;

警察破案常用推理方式 , 逐一排除嫌疑人 ;

6、假言三段论

假言三段论 :

( A \to B ) \land ( B \to C ) \Rightarrow ( A \to C )

根据 推理定律 ,

( A \to B ) \land ( B \to C ) \to ( A \to C )

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \to B

,

B \to C

结论 :

A \to C

7、等价三段论

等价三段论:

( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) \Rightarrow ( A \leftrightarrow C )

根据 推理定律 ,

( ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) ) \to ( A \leftrightarrow C )

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \leftrightarrow B

,

B \leftrightarrow C

结论 :

A \leftrightarrow C

8、构造性两难

等价三段论:

( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) \Rightarrow ( B \lor D )

根据 推理定律 ,

( ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) ) \to ( ( B \lor D ) )

蕴含式 是 永真式 ;

前提 :

A \to B

,

C \to D

,

A \lor C

结论 :

B \lor D

理解方式 :

A

是发展经济 ,

B

是污染

C

是不发展经济 ,

D

是贫穷

A \lor B

要么发展经济 , 要么不发展经济 结果是

B \lor D

, 要么产生污染 , 要么忍受贫穷

参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

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