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【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 )

输入输出系统 过程 数字 之间 关系 线性
2023-06-13 09:18:01 时间

文章目录

一、LTI 系统单位脉冲响应

线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;

系统的 " 时域特性 " 为

h(n) = T[\delta(n)]

;

在 " 模拟系统 " 中 , 当系统输入为

\delta(t)

时 , 系统的 " 零状态响应 " 是

h(t)

;

在 " 离散系统 " 中 , 当系统输入为

\delta(n)

时 , 系统的 " 零状态响应 " 是

h(n)

, 零状态是

y(-1) = 0

;

定义了系统的 " 单位脉冲响应 " 之后 , 系统的 " 输入 " 和 " 输出 " 之间 , 存在着 " 卷积 " 关系 ;

二、卷积

对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设

x(n)

是 LTI 系统的 " 输入序列 " ,

y(n)

是 " 输出序列 " ,

则有 :

y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

推导过程如下 :

任何一个 输入序列

x(n)

, 都可以由 单位脉冲序列 的 加权和 表示 :

x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) \delta(n-m)

与上面的 输入序列

x(n)

相对应的 输出序列

y(n)

为 :

y(n) = T[x(n)] = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) T[\delta(n-m)]

上述式子中使用的 系统

T[\delta(n-m)]

是 " 线性 " 系统 ,

当该系统

T

的输入为

\delta(n)

时 , 输出为

h(n)

;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

当该系统

T

的输入为

\delta(n-m)

时 , 输出为

h(n-m)

;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

\sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)

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