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【组合数学 】 推广牛顿二项式 ( 牛顿二项式推广 | 推导流程 | 题目解析 )

流程 解析 组合 数学 题目 推广 推导 牛顿
2023-06-13 09:17:41 时间

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牛顿二项式公式

(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}x^k

牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式

公式推导 : 使用

ax

替换

x

, 然后将公式展开即可 :

\begin{array}{lcl}\\ (1 + ax)^n &=& \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}(ax)^k \\ \\ \\ &=& \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k x^k \\ \\ \end{array}

推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况

将二项式的 幂

-n

代入到 牛顿二项式 中 :

(1 + x)^{-n} = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{-n}{k}x^k

( 这里一定要注意 ,

n

是正数 ,

-n

是负数 , 累加的时候 ,

k

从

0

到

n

进行累加 ) (

\dbinom{-n}{k}

此时没有组合数意义 , 只是单纯的计算 )

推导 C(-n,k) 的公式

下面推导 该二项式系数

\dbinom{-n}{k}

值 :

① 将

C(n, k)

展开 :

\begin{array}{lcl}C(n,k) =\dbinom{n}{k} &=& \cfrac{n!}{(n-k)! k!}\\ \\ \\ &=& \cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots ( n-k+1) (n-k) (n-k-1) \cdots}{k! (n-k) (n-k -1) \cdots}\\ \\ \\ &=& \cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots ( n-k+1) }{k! } \end{array}

② 将

C(-n, k)

对应展开 : 将

-n

代替

n

带入 :

\begin{array}{lcl}C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} &=& \cfrac{(-n)!}{(-n-k)! k!}\\ \\ \\ &=& \cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) \cdots ( -n-k+1) (-n-k) (-n-k-1) \cdots}{k! (-n-k) (-n-k -1) \cdots}\\ \\ \\ &=& \cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) \cdots (-n-k+1) }{k! }\\ \\ \\ &=&\cfrac{ (-1 ) ( n) (-1) (n+1) (-1) (n+2) (-1)(n+3) \cdots (-1)(n+k-1) }{k!} \qquad[1]\\ \\ \\ &=& (-1)^k \cfrac{( n) (n+1) (n+2) (n+3) \cdots (n+k-1) }{k!}\\ \\ \\ &=& (-1)^k \cfrac{(n+k-1) \cdots(n+3) (n+2) (n+1) ( n) }{k!} \\ \\ \\ &=& (-1)^n \dbinom{n+k-1}{k} \end{array}

( [1] 此时分子上有

k

个

-1

相乘 , 提取出来后为

(-1)^k

)

推导结果是 :

C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} = (-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}

-n

中取

k

, 结果是

(-1)^n

乘以

n+k-1

中取

k

;

推广牛顿二项式

二项式的 幂 为

-n

:

(1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{-n}{k}x^k

将之前推导出的

C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} = (-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}

带入到上述公式中 :

(1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{n+k-1}{k} x^k

使用

-x

换元后变型 :

\begin{array}{lcl}(1-x)^{-n} &=& \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \dbinom{n+k-1}{k} (-1)^kx^k\\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n+k-1}{k} x^k \end{array}

题目解析1

题目 : 在

(1+2x)^n

展开式中 ,

x^k

系数是多少 ;

解 :

根据牛顿二项式展开式子 :

\begin{array}{lcl}(1+2x)^n &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}(2x)^k\\ \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}2^k x^k \end{array}

结论 :

x^k

之前的系数是

2^k\dbinom{n}{k}

题目解析2

题目 : 如果

(1-3x)^{-5} = \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k

, 求

a_k

;

解 :

① 使用 推广的牛顿二项式 展开 二项式 :

\begin{array}{lcl}\\ (1-3x)^{-5} &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{5 + k - 1}{k} (-3x) ^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{5+k-1}{k} (-3)^k x^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} 3^k \dbinom{4+k}{k} x^k \end{array}

② 结果为 :

a_k = 3^k \dbinom{4+k}{k} = 3^k \cfrac{(4+k)!}{4! k!}

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