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【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表 可满足式 矛盾式 重言式 )

回顾 公式 优先级 满足 命题 数理逻辑 矛盾 命题逻辑
2023-06-13 09:17:44 时间

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基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;

一、命题与联结词

原子命题 :

p , q , r

表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

  • 真 :
1

表示 命题真值 为真 ;

  • 假 :
0

表示 命题真值 为假 ;

联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

  • 否定联结词 :
\lnot
  • 合取联结词 :
\land

,

p \land q

,

pq

同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;

  • 析取联结词 :
\lor

,

p \lor q

,

pq

同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;

  • 蕴涵联结词 :
\to

,

p \to q

,

p

真

q

假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;

  • 等价联结词 :
\leftrightarrow

,

p \leftrightarrow q

,

pq

真值相同时为真 , 表示等价成立 ,

pq

真值相反时为假 , 等价不成立 ;

二、命题公式

命题公式 组成 :

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果

A

是命题公式 , 则

(\lnot A)

也是命题公式 ;

③ 如果

A,B

是命题公式 , 则

(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)

也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

三、命题公式示例

命题公式示例 :

简单命题 :

p

复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;

\lnot p
(p \to q)

, 最外层的括号可以省略 ,

p \to q
(p \to (q \to r))

, 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 ,

p \to (q \to r)

;

四、联结词优先级

联结词优先级 :

“

\lnot

” 大于 “

\land , \lor

” 大于 “

\to, \leftrightarrow

”

\land , \lor

优先级相同 ;

\to, \leftrightarrow

优先级相同 ;

五、真值表

真值表 :

p p p

q q q

p → q p \to q p→q

p ∧ ¬ q p \land \lnot q p∧¬q

p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p

0 0 0

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 1

p
q
p \to q
p \land \lnot q
p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
p \to q

是 可满足式 ;

p \land \lnot q

是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;

p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p

是 重言式 , 又称为 永真式 ;

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;

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