如何引导孩子学习初中几何? 和大闺女悄悄讨论了一次啥是长方形
记录一下国庆期间 (2022.10.5) ,我和我大闺女悄悄, 关于长方形的一次讨论。
(悄悄, 我的大闺女,对数学的学习非常不敏感。 现在刚进入初二, 过去一年中,在平面几何的学习上遇到了很多困难, 所以我花不少时间和她反复讨论几何的基础概念、公理、定理。 而我尤其重视她对数学中的基础概念的理解。)
01
爸爸: 悄悄, 你能给爸爸描述一下, 什么是长方形吗?
悄悄: 两组对边平行且相等, 四个角都是直角的图形,是长方形。
爸爸: 很好, 你刚才一共提到了几个条件呢?
悄悄: 3个。
爸爸: 哪3个?
悄悄:
- 第一:两组对边平行;
- 第二:两组对边相等;
- 第三:4个角是直角;
所以, 一共是三个条件。
爸爸: 很好,3组条件中, 那如果我们要判断一个图形是否是长方形, 你认为所有条件都是必须的吗?有没有一些条件可能是多余的 ?多余的意思就是我们可以用其他条件直接把它推导出来。
悄悄: 嗯 , 我想想。 之前证明过平行四边形的很多性质, 对边平行和对边相等, 是可以相互推出来的, 所以应该可以把对边相等去除。
(悄悄之前反复的练习过平行四边形的几个等价性质的相互推导, 包括:对边相等、对边平行、对角相等、对角线平分。)
爸爸: 非常正确!
爸爸:那去除多余的条件, 你重新描述一下, 什么是长方形?
悄悄:两组对边平行, 4个角都是直角的图形,是长方形。
02
爸爸:好的, 那假设我们已经知道两组对边平行了, 要知道这个图形是不是长方形, 一定要告诉你4个角是直角吗?告诉你3个角是直角行不行?
悄悄: 嗯, 我得想想。
(思考了30秒后)
悄悄:我觉得3个角是直角和4个角是直角, 应该是一样的。 如果3个角是90度, 由于四边形内角和是360度, 那第四个角一定是90度, 直角啊。
爸爸:非常对, 所以并不需要告诉4个角是直角, 对不对? 告诉你3个角是直角就可以了。
悄悄:是的。
爸爸:那3个角可以, 只告诉你2个角可以吗 ?
悄悄:哪两个角?
爸爸:不知道是哪两个, 反正就只告诉你, 有两个角是直角。你觉得有几种情况?
悄悄: 第一种情况, 两个相邻的角是直角;第二种情况, 对角是直角;
爸爸:是的, 那你来分析一下, 这两种情况下, 图形还是长方形吗?
悄悄: 嗯, 这个我得画图看看, ABCD 是长方形。 2个角就要分两种情况了,
- 第一种情况, 比如 ∠A, ∠B 是直角。 由对边平行, ∠A + ∠D = 180, ∠B + ∠C = 180, 可以推出 ∠C, ∠D 都是直角;
- 第二种情况, 比如 ∠A , ∠C 是直角。由对边平行, ∠A + ∠D = 180, ∠B + ∠C = 180, 可以推出 ∠B, ∠D 都是直角;
所以, 两种情况下, 都可以得出 ABCD 4个角都是直角。
爸爸:所以对边平行, 只告诉你2个直角, 是不是长方形?
悄悄:是的 。
爸爸: 那请问了, 只告诉你1个角是直角, 这样可以吗?
悄悄: 一个角啊?
爸爸:对, 一个角, 随便哪个角都行。
(思考一分钟后)
悄悄: 如果 ∠A 是直角, 由平行条件, ∠A + ∠D = 180, ∠A + ∠B = 180, 所以 ∠B, ∠D 都是直角, ∠A ,∠B, ∠D 三个角都是直角了, 马上能推出 ∠C是直角。 其他情况也是类似的。
爸爸:如果告诉你∠B 是直角呢?
悄悄:情况应该是一样的啦!ABCD 四个中任何一个是直角, 都可以推出其他角都是直角。
爸爸:所以你来总结一下, 你现在的长方形条件是什么样的?
悄悄:两组对边平行, 一个角是直角。
爸爸:你最早给的长方形要求是啥?
悄悄:两组对边平行,两组对边相等,4个角是直角
爸爸:对比一下, 是不是简单多了!
悄悄:是的!
03
爸爸:4个角是直角条件多, 还是一个角是直角条件多?
悄悄:当然是4个角的条件多, 是4个条件, 一个角是直角只有一个条件。
爸爸:对了, 所以你已经明白了, 4个角是直角可不是一个条件, 而是4个条件。
爸爸:那两组对边平行是几个条件 ?
悄悄:2个。
爸爸:两组对边相等是几个条件 ?
悄悄:2个。
爸爸:那你最早说的 "两组对边平行,两组对边相等,4个角是直角" 一共是几个条件?
悄悄:2 + 2 + 4 = 8, 是8个条件。
爸爸:我们刚才化简的长方形要求: “两组对边平行, 一个角是直角” , 是几个条件
悄悄:2+1 = 3, 是3个条件
爸爸:来, 重新描述一下你最后的长方形要求
悄悄:两组对边平行, 一个角是直角
04
爸爸: 能不能再砍掉一个条件 ?
悄悄:嗯, 这我得试试。。。。
爸爸:你先试试, 砍掉“一个角是直角”这个条件。
悄悄:(思考了1分钟),感觉是不太行啊。
爸爸:为什么?
悄悄:砍掉“一个角是直角”这个条件,只剩下“两组对边平行”,就变成了平行四边形, 你看, 我能画出一个不是长方形的平行四边形。
爸爸: 那砍掉其他的呢?
悄悄:如果砍掉“一组对边平行”, 剩下的是“一组对边平行,一个角是直角”,嗯, 我试试, 感觉也不行。你看, 这个直角梯形应该是满足条件的, 但也不是长方形;
爸爸:你已经发现了, 这个时候没办法砍掉条件啰。 砍掉任何一个条件,你都能找出一个反例, 它不是长方形。所以呢, 总结一下, "两组对边平行, 一个角是直角", 就是一个长方形的最简条件定义。
爸爸:数学的概念定义, 一个很重要的要求就是保持简洁,方便记忆, 尽可能不要有冗余的条件。所以长方形的最简单定义, 就是"两组对边平行, 一个角是直角", 或者也可以描述为, 一个角是直角的平行四边形。
05
爸爸:还记得我们最早是从哪个长方形的描述出发的吗?
悄悄:两组对边平行,两组对边相等,4个角是直角, 一共是8个条件。
爸爸:那还有没有其他的砍条件的方式呢 ?比如, 你之前提到了, 对边平行和对边相等是等价的, 那我们是不是可以砍掉对边平行, 留下对边相等?
悄悄:我猜是可以的, 长方形应该也可以描述为: “两组对边相等, 一个角是直角的图形是长方形”
爸爸:是的, 你猜对了!
爸爸:其实还可以有不同的方式可以来砍掉多余的条件, 不同的数学家、数学教材在定义长方形的时候, 可以用不同的条件, 但是通常都要求做到简洁,方便记忆。
爸爸:今天咱们的”数学胡萝卜“讨论就到这里, 表现很不错! 后续我们可以继续试试, 有多少种最简洁的方式来定义长方形?
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