❝生活中最大的障碍之一就是对羞辱的恐惧 ❞

大家好，我是「柒八九」。

今天，我们继续「计算机底层知识」的探索。我们来谈谈关于「小数运算」的相关知识点。

如果，想了解该系列的文章，可以参考我们已经发布的文章。如下是往期文章。

文章list

1. 计算机底层知识之CPU
2. 计算机底层知识之二进制

你能所学到的知识点

❝

1. 计算机精度缺失 「推荐阅读指数」 ⭐️⭐️⭐️
2. 如何用二进制表示小数 「推荐阅读指数」 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
3. 计算机精度缺失的原因
4. 浮点数 「推荐阅读指数」 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
5. 正则表达式和EXCESS系统 「推荐阅读指数」 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️

❞

好了，天不早了，干点正事哇。

将0.1累加100次也得不到10

我们来一个计算机运算错误的例子。

function sum(){
    let sum = 0;
    for(let i=1;i<=100;i++){
        sum +=0.1;
    }
    console.log(sum)
}

我们在浏览器的控制台中，运行sum(),得到的运行结果为9.99999999999998。这显然和我们的九年义务教育所教导的「背道而驰」。

有句话说，「雪崩的时候，没有一片雪花是无辜的」。在这段代码中，程序没错，计算机也没有发生故障，当然和所使用的语言也没有关系（选用其他的高级语言可能运算结果不同）。如果硬要找一个背锅的，那就是「计算机处理小数的机制」。

用二进制数表示小数

在计算机底层知识之二进制中我们讲过，由于计算机内部所有的信息都是以二进制数的形式来处理，因此，「整数和小数并无差别」。

在说明计算机如何用二进制数表示小数的具体方法前，我们先尝试将1011.0011这个有小数点的二进制数转换成十进制数。

小数点「前面」部分的转换方法在计算机底层知识之二进制中介绍过。只需将各「数位」数值和「位权」相乘，然后再将相乘的结果相加即可实现。其实，针对小数点后面的部分，也是「照猫画虎」，也是将各「数位」数值和「位权」相乘的结果相加即可。

二进制数小数转换成十进制数

二进制数小数点前面部分的「位权」

• 第一位是2的0次幂
• 第二位是2的1次幂
• 第三位是2的2次幂
• 以此类推

而小数点后面部分的「位权」

• 第一位是2的-1次幂
• 第二位是2的-2次幂
• 第三位是2的-3次幂
• 以此类推

❝0次幂前面的位的位权按照1次幂、2次幂····的方式「递增」 0次幂后面的位的位权按照-1次幂、-2次幂····的方式「递减」 ❞

计算机运算出错的原因

❝计算机运算出错的原因：「有一些十进制数的小数无法转换成二进制」 ❞

小数点后4位用二进制数表示时的数值范围为0.0000~0.1111。这里只能表示0.5、0.24、0.125、0.0625这四个二进制数小数点后面的位权组合而成（相加总和）的小数。

❝可以看出：「二进制数是连续的，十进制数是非连续的」 ❞

在前面讲二进制的时候，我们说，根据IC引脚个数不同，我们可以表示位数不同的二进制数。我们可以通过增加引脚数，也就是增加二进制小数点后面的位数，与其相对应的十进制数的个数也会增加，「但是不管增加多少位，2的-〇〇次幂怎么相加都无法得到0.1这个结果」。

实际上，十进制数0.1转换成二进制后，会变成0.00011001100···（1100循环）这样的「循环小数」。这和用十进制数来表示1/3是一样的道理。

❝计算机这个「功能有限」的机器设备，是无法处理「无限循环」的小数的 ❞

因此，在遇到「循环小数」时，计算机就会根据「变量数据类型」所对应的长度将数值从「中间截断」或者「四舍五入」。

然后，我们再结合我们上面的例子，一个「循环小数」在进行存储的时候，已经被「掐头去尾」，而偏偏针对这个值，又进行了N多次处理。不怕你不努力，就怕你，持之以恒的向偏离既定轨道的方向上移动，那么结果可想而知，是永远不会达到最终想要的结果。

浮点数

像1011.0011这样带小数点的表现形式，在计算机内部是无法使用的。

很多编程语言中都提供了两种表示小数的数据类型，分别是「双精度浮点数」和「单精度浮点数」。

• 「双精度浮点数」用64位表示小数
• 「单精度浮点数」用32位表示小数

「浮点数」是指用「符号」、「尾数」、「基数」和「指数」这四部分表示的小数。

❝计算机内部使用的是二进制数，所以「基数是2」，因此，实际的数据中往往不考虑基数。只用「符号」、「尾数」、「指数」这三部分就可以表示「浮点数」。 ❞

浮点数表现形式

浮点数的表现方式有很多中，我们采用IEEE标准来解释。

双精度浮点数和单精度浮点数在表示同一个数值时「使用的位数」不同。

「符号部分」是指使用一个「数据位」来表示符号。「数据位是1时表示负，为0时表示正或者0」

❝数值的大小用「尾数部分」和「指数部分」来表示。即用「尾数部分 × 2的指数部分次幂」的形式来表示。 ❞

• 「尾数部分」用的是「将小数点前面的值固定为1的正则表达式」
• 「指数部分」用的是「EXCESS系统表示」

正则表达式和EXCESS系统

尾数部分

❝「尾数部分」使用「正则表达式」，可以将表现形式多样的浮点数统一为一种表现形式。 ❞

例如，十进制数0.75就有很多表现形式。

虽然他们表示的都是「同一个数值」，但因为表现方法太多，计算机在处理时会比较麻烦。

因此，需要制定统一的规则：

❝十进制数的浮点数应该遵循：「小数点前面是0，小数点后面第一位不能是0」 ❞

也就是说，只能用「尾数」部分是0.75、「指数」部分是0的方法来表示。即0.75 × 100

❝在二进制数中，我们规定：「将小数点前面的值固定为1的正则表达式」 ❞

具体来讲，就是将二进制数表示的小数「左移」或「右移」（逻辑移位）数次后，「整数部分」的第一位变成1，「第二位之后都变成0」。

❝而且，「第一位的1在实际的数据中不保存」，因此省略该部分后就可以节省一个数据位，从而可以表示更多的数据范围。 ❞

我们，看一下1011.0011如何用单精度浮点数的正则表达式来表示「尾数部分」。

指数部分

「指数部分」中使用的是EXCESS系统，使用这种方式主要是「为了表示负数时不使用符号位」。

在某些情况下，在指数部分，需要通过「负〇〇次幂」的形式来表示负数。

❝「EXCESS系统」表现是指，通过将指数部分表示范围的「中间值」设置0，使得负数不需要用符号来表示。 ❞

也就是说，当「指数部分」是8位单精度浮点数时，最大值11111111=255的1/2,即01111111=127(小数部分舍弃)表示的是0。

我们再来一个例子说明。假设有这样一个游戏，用1~13(A~K)的扑克牌来表示负数。此时，我们把「中间」的7当做0。那么10表示+3，3表示-4。

单精度浮点数指数部分的EXCESS系统表现

实际运用

我们来一起看看如何用单精度浮点数来表示十进制数0.75。

• 「符号位」：因为0.75是正数，所以符号位是0

0.75转换成二进制正则表示为1.1×2-1,按照前面介绍的就很容易知道下面的各个数值。

• 「指数部分」：为-1，但是用EXCESS表示的话，就变成了01111110。换算为十进制为126。而EXCESS系统中，126代表-1
• 「尾数部分」：根据正则表达式的规则，小数点前面的第1位是1,因此「尾数部分」1000···实际上表示的是1.1000···

二进制数和十六进制数关系

在以「位」为单位表示数据时，使用二进制数很方便，但如果位数太多，看起来很麻烦。因此，在实际程序中，经常用「十六进制数」来替代「二进制数」。

在一些高级语言中，只需要在数值的开头加上0x就可以表示十六进制数。

❝二进制数的4位，正好相当于十六进制数的1位。 ❞

由此可见，通过使用十六进制数，二进制数的位数能够「缩短」至原来的1/4。

用十六进制数表示二进制「小数」时，小数点后的二进制数的4位也同样相当于十六进制数的1位。「不够4位时用0填补二进制的低位」

后记

「分享是一种态度」。

参考资料：《程序是怎样跑起来的》

「全文完，既然看到这里了，如果觉得不错，随手点个赞和“在看”吧。」