点积与叉积

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1. 向量的点积：向量点积是其各个分量乘积的和

几何意义：点积的结果是一个标量，等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

a•b = |a||b|cosθ

如果a和b都是单位向量，那么点积的结果就是其夹角的cos值。

a•b = cosθ

交换律：

分配律：

结合律：

其中m是实数。

2. 向量叉积：两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。它的运算结果是一个向量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。即c垂直于a，同时c垂直于b（a与c的夹角为90°，b与c的夹角为90°）

设

c =a×b =(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1*z2 – y2*z1, z1*x2 – z2*x1, x1*y2 – x2*y1)

叉乘的几何意义： |c|=|a×b|=|a| |b|sinα （α为a，b向量之间的夹角）

叉乘的拓展：

在一般的常识或者教科书中规定叉乘只有3d才拥有，其实2d也可以拓展出来一个叉乘形式，而且非常有用。

拓展方式：假设有两个2d向量a,b，我们直接把他们视为3d向量，z轴补0，那么这个时候的a，b向量的叉乘结果c,c.x=0,c.y=0,c.z=a.x*b.y-b.x*a.y,这个时候可以吧2d的叉乘值定义为得到一个值，而不是得到一个向量，那么这个值k，k = c.z=a.x*b.y-b.x*a.y，我们可以通过这个k值得到很多有用的性质

1.a，b向量构成的平行四边形的面积，即a,b向量组成三角形的有向面积的二倍。

2.如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。（关于旋转正方向，请戳这里）

向量二重外积公式：a × (b×c )= b(a · c) − c(a ·b)。

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