投影矩阵介绍[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一般我们是将相机模型简化成针孔相机模型，

那么相平面与相机坐标系之间的关系为：

通常为了方便，会把相平面放在小孔与目标点之间。

下面就介绍下相平面投影的三种不同方法。

透视投影(perspective projection)

通过相似三角形（下图两个虚线三角形）

可以得到下列关系：

展开就是：

这里x_h等为齐次坐标系坐标，X等为相机坐标系点，x等则为相平面上的透视投影点， 可以看出，投影点的位置不仅仅是与X等有简单的缩放关系，还和Z成反比，Z越大投影点x等越小，这就解释了为什么相机拍摄的图片近大远小。

正交投影

正交投影可以理解是透视投影的一种极端情况，f趋近无穷大，f/Z趋近1，这时矩阵形式就写成：

展开为：

这里w为1. 可以看出，相平面上的点就是相机坐标系的点，简单粗暴，直接去掉了Z。这种投影方式没法反应近大远小的特点，所以就有了下面稍微复杂点的正交投影：缩放正交投影。

缩放正交投影（弱透视模型）

由于正交投影简化过猛，直接丢弃了Z，这里为了体现缩放又把Z加回来了，只不过这里的Z是个常值，比如一个三维的点云，可以将分母设为点云Z的均值，这样就实现了投影的缩放（依然保留了平行直线的关系）

另外值得一提的是，使用深度学习对3d 人脸进行预测时，通常使用的是弱透视模型，得到的head pose并不是相对拍摄的相机坐标系的，因为真实相机是透视投影模型，

上图左边a，b和c为人头相对相机坐标系的x轴做了平移，如果使用弱透视投影，投影的结果应该是右下角三张图，看起来人头都没旋转。。但是如果按照透视投影方法来投影，得到的就是右上三张图，如果要获取相对相机坐标系下人头的head pose，那么需要对yaw和pitch方向做下角度补偿。

参考链接：

https://www.cse.unr.edu/~bebis/CS791E/Notes/PerspectiveProjection.pdf

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