导数与微分（6）
基础
设
f\left( x \right)在
\left[ 1,2 \right]上连续，在
\left( 1,2 \right) 内可导，证明：存在
\xi \in \left( 1,2 \right) ，使得
\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right) =f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right) .
解：由题目得
xf^{'}\left( x \right) -f\left( x \right) =f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right) ，得
\dfrac{xf^{'}\left( x \right) -f\left( x \right)}{x^2}-\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{x^2}=0；还原得
\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{x} \right] ^{'}=0，令
\varphi \left( x \right) =\dfrac{f\left( x \right)}{x}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{x}，则可以
\varphi \left( 1 \right) =\dfrac{f\left( 1 \right)}{1}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{1}=f\left( 2 \right) -f\left( 1 \right)，
\varphi \left( 2 \right) =\dfrac{f\left( 2 \right)}{2}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2\left( 1 \right)}{2}=f\left( 2 \right) -f\left( 1 \right) ；即可以得
\varphi \left( 2 \right) =\varphi \left( 1 \right) ；由罗尔定理得存在一点内，使得
\varphi^{'}\left( \xi \right) =0，即
\dfrac{\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right)}{\xi ^2}+\dfrac{f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right)}{\xi ^2}=0，即
\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right) =f\left( 2 \right) -2f\left( 1 \right) 。
解题思路：首先看到
\xi f^{'}\left( \xi \right) -f\left( \xi \right)这种式子，一般看成函数集成的分式除法公式变形，先进行两边除
x^2，然后经过还原得到原函数，后面就是罗尔定理的应用，注意函数的两个特殊点，带入进去既可以得出结果。
设
f\left( x \right) 在
\left[ 0,1 \right]上连续，在
\left( 0,1 \right) 内可导，证明：存在
\xi ,\eta \in \left( 0,1 \right) 内，使得
\dfrac{4}{\pi}f^{'}\left( \xi \right) =\left( 1+\eta ^2 \right) f^{'}\left( \eta \right)解：
g\left( x \right) =\arctan x，
g^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{1+x^2}\ne 0，由柯西中值定理得，存在一点
\eta \in \left( 0,1 \right)，
\dfrac{f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right)}{g\left( 1 \right) -g\left( 0 \right)}=\dfrac{f^{'}\left( \eta \right)}{g^{'}\left( \eta \right)}，
\dfrac{f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right)}{g\left( 1 \right) -g\left( 0 \right)}=\dfrac{4}{\pi}\cdot \left( f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right) \right) ，对于
f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right)由拉格朗日中值定理，存在一点
\xi \in \left( 0,1 \right)，使得
f\left( 1 \right) -f\left( 0 \right) =f^{'}\left( \xi \right)，综上所述可得}
\dfrac{4}{\pi}f^{'}\left( \xi \right) =\left( 1+\eta ^2 \right) f^{'}\left( \eta \right) .
解题思路：首先对于这种式子，一般将式子看成两部分，右边证明的式子由于含同一个参数，所以看成柯西中值定理的条件，左边的看成一个变形的式子，发现只含一个参数，想到的是罗尔定理，进行化简之后进行直接化简得，由两个进行综合，则可以得出结果。
设
b > a > 0，证明：
\dfrac{b-a}{b} < \ln \dfrac{b}{a} < \dfrac{b-a}{a}.
解：由要证明的式子进行化简（
b > a，
b-a > 0），
\dfrac{1}{b}<\dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}<\dfrac{1}{a}，构造
g\left( x \right) =\ln x，知道
g^{'}\left( x \right) =\dfrac{1}{x}，由拉格朗日中值定理，得存在一点
\xi \in \left( a,b \right)，使得
g^{'}\left( \xi \right) =\dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi}，
a < \xi < b，所以
\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{\xi} < \dfrac{1}{a}，证明完毕。
解题思路：首先根据不等式进行变形，将两个区间的端点的加减变成分母上去，后面对于除法的公式，进行拉格朗日中值定理的处理，后面得到\xi 的取值范围，根据取值的变形就可以得到不等式的范围，即证明完毕。
作者：小熊
