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考研（大学）数学 ​多元函数微分学（3）

函数 数学 大学 多元 考研 微分学
2023-06-13 09:13:17 时间

多元函数的微积分 （3）

无条件极值，条件极值

无条件极值 知识点：

步骤（1）.函数的定义域 （2）.函数的驻点 （3）判别法，（高阶导数）类似于韦达定理。

1.（1）求二元函数

f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y

的极值（2）求函数

f(x,y)=(x^2+2x+y)e^y

的极值

解 ：（1）首先确定函数的定义域，

f(x,y)

的定义域为

D=\{(x,y) |y>0|\}

，直接对

x,y

进行求偏导，

\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x(2+y^2)=0

,同理得

\dfrac{\partial z}{\partial y}=2x^2y+\ln y+1=0

，解得

(x,y)=(0,\dfrac{1}{e})

，再进行二次求偏导，

\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=2(2+y^2)

，

\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=4xy

，

\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2x^2+\dfrac{1}{y}

，分别令三者导数为

A,B,C

，带入

A=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}\bigg|_{(0,\frac{1}{e})}=2(2+\frac{1}{e^2})=0

，同理

B=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\bigg|_{(0,\frac{1}{e})}=0

，

C=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}\bigg|_{(0,\frac{1}{e})}=e

，带入

AC-B^2 > 0

且

A > 0

，有判别法知道

(0,\dfrac{1}{e})

是

f(x,y)

的极小值点，所以

f(x,y)

的极小值为

f(0,\dfrac{1}{e})=-\dfrac{1}{e}

条件极值(以二元函数的极值为准) 知识点：

（1）拉格朗日乘数法，构造大函数 （2）转化为一元函数的极值，将

y

表示成

x

的函数 (3)根据设定的

x,y

的动态关系，将

x,y

分别表示成

x=x(t),y=y(t)

的关系式，再求一元函数的极值

2.试求

z=f(x,y)=x^3+y^3-3xy

在矩形闭域

D=\{(x,y)|0\leq x\leq 2,-1\leq y\leq 2\}

上的最大值、最小值

解 ：当在区域

D

内部时，可以得

z_{x}^{'}=3x^2-3y=0

，

z_{y}^{'}=3y^2-3x=0

解得

x=1,y=1

，可知

f(x,y)=f(1,1)=-1

；当处

L_{1}:y=-1

此时

0\leq x\leq 2

，带入解析式中

z=x^3+3x-1

,求导

z^{'}=3x^2+3=0

，

z

单增，

z

的最小值为:

z(0)=-1

，最大值为：

z(2)=13

，同理对于其他，位于

L_{2}:y=2

，

0 \leq x\leq 2

时，

z=x^3-6x+8

，同理

z^{'}=3x^2-6=0

，解得

x=\sqrt{2}

，

z(0)=0

，

z(\sqrt{2})=8-4\sqrt{2}

，

z(2)=4

，在

L_{3}:x=0,-1 \leq y \leq 2

，

z=y^3

，显然

z^{'}=3y^2=0

，得到

y=0

，

z(-1)=-1,z(0)=0,z(2)=8

，最后处理

L_{4}:x=2,-1 \leq y \leq 2

，同理可以得到式子

z=y^2-6y+8

，对

z^{'}=3y^2-6=0

，解得

y=\sqrt{2}

，同理

z(-1)=13,z(\sqrt{2})=8-4\sqrt{2},z(2)=4

，综上所述，

z

在

D

上的最小值为-1，最大值为13

3.求

u=x^2+y^2+z^2

在

\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

的最小值

解 :构造函数

\displaystyle F(\lambda,x,y)=x^2+y^2+z^2+\lambda(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})

,依次求偏导，得

F_{x}^{'}=2x+\dfrac{\lambda}{a}=0

，,

F_{y}^{'}=2x+\dfrac{\lambda}{c}=0

,

F_{z}^{'}=2z+\dfrac{\lambda }{c}=0

，

\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}-1=0

可得

x=-\dfrac{\lambda}{2z}

，

y=-\dfrac{\lambda}{2b}

，

z=-\dfrac{\lambda}{2c}

，带入

\dfrac{x }{a}+\dfrac{y }{b}+\dfrac{z}{c}-1=0

，可以得

\displaystyle\lambda=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}

，解得原式

\displaystyle x=\dfrac{1}{a(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})}

，

\displaystyle y=\dfrac{1}{b(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})}

，

\displaystyle z=\dfrac{1}{c(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})}

，所以

u=x^2+y^2+z^2

在

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

上的最小值为

\displaystyle u_{min}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})^2}\cdot(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}

作者：小熊

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