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考研竞赛每日一练 day 4 一道极限题目的计算

计算 每日 极限 竞赛 题目 Day 一道 考研
2023-06-13 09:13:16 时间

一道极限题目的计算

求极限

\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}\cos tdt}{\ln^2(1+x)}-\frac{1}{x}\right)

【解析】：设原式为I ，则有

\begin{align*}\displaystyle I&=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle x\int_{0}^{x}e^{-t}\cos tdt-\ln^2(1+x)}{x\ln^2(1+x)}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle x\int_{0}^{x}e^{-t}\cos tdt-\ln^2(1+x)}{x^3}\\&=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle x\int_{0}^{x}e^{-t}\cos tdt-x^2}{x^3}+\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^2-\ln^2(1+x)}{x^3}\end{align*}

分别对上式右边进行计算，有

\begin{align*}\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle x\int_{0}^{x}e^{-t}\cos tdt-x^2}{x^3}&=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}\cos tdt-x}{x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^{-x}\cos x-1}{2x}\\&=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^{-x}\cos x-\cos x}{2x}+\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\cos x-1}{2x}\\&=\frac{1}{2}\lim\limits_{x \rightarrow 0}\cos x\cdot\dfrac{e^{-x}-1}{2x}=-\frac{1}{2}\end{align*}
\begin{align*}\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^2-\ln^2(1+x)}{x^3}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x}\cdot\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{x+\ln(1+x)}{x^2}（\text{泰勒展开}）=1\end{align*}

所以原式

I=\dfrac{1}{2}

作者：小熊

写作日期：9.27

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