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考研数学综合题13

13 数学 考研 综合题
2023-06-13 09:13:16 时间

利用递推以及放缩证明一道积分数列题

设

\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n}xdx

，其中

n

是非负整数，证明： （1）

I_{n}+I_{n-2}=\dfrac{1}{n-1}(n \geq 2)

，并求

I_{n}

； （2）

\displaystyle \frac{1}{2(n+1)} < I_{n} < \frac{1}{2(n-1)}(n \geq 2)

【解析】：（1）由题意

\begin{align*}I_{n}+I_{n-2}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n}xdx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}(\tan^2 x+1)dx\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}x\cdot \sec^{2}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}xd \tan x\\&=\frac{1}{n-2}\end{align*}

显然计算

I_{n}

，得分

n

的奇偶性，

\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan xdx=-\ln|\cos x|\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\ln2}{2}

，

\displaystyle I_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx=\dfrac{\pi}{4}

当

n=2k

时，

I_{2k}=\dfrac{1}{2k-1}-I_{2k-2}=\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k-3}+\dfrac{1}{2k-5}-\dfrac{1}{2k-7}+\dotsb+(-1)^{k}\dfrac{\pi}{4}

同理，当

n=2k+1

时

I_{2k+1}=\dfrac{1}{2k}-\dfrac{1}{2k-2}+\dfrac{1}{2k-4}-\dfrac{1}{2k-6}+\dotsb+(-1)^{k}\dfrac{2}{\ln2}

（2）当

x\in(0,\dfrac{\pi}{4})

时，

0 < \tan x < x

，所以

\begin{align*}\displaystyle\frac{1}{n+1}=I_{n+2}+I_{n} < 2I_{n} < I_{n}+I_{n-2}=\frac{1}{n-1} (n\geq 2)\end{align*}

所以

\displaystyle \frac{1}{2(n+1)} < I_{n} < \frac{1}{2(n-1)}(n \geq 2)

.

作者：小熊

写作日期：7.28

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