非数专题三 一元积分学 （4）
3.4 积分中值定理的应用
3.12 （北京市1993竞赛题）
设函数
f(x)在
[a,b]上连续且非负，
M是
f(x)上的最大值，求证：
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\int[f(x)]^{n}dx}=M.
解：由题意知，
M是
f(x)的最大值，记
f(\xi)=M=\underset{a\leq x\leq b}{\max}\{f(x)\}，
\xi\in[a,b]，
（1）若
\xi\in(a,b)，必然存在
N\in N，当
n>N时，有
[\xi-\frac{1}{n},\xi+\frac{1}{n}]\subset[a,b]，用积分中值定理，即
\xi_{n}\subset[\xi-\frac{1}{n},\xi+\frac{1}{n}]，使
(\frac{2}{n})^{\frac{1}{n}}f(\xi_{n})=\sqrt[n]{\int_{\xi-\frac{1}{n}}^{\xi+\frac{1}{n}}[f(x)]^{n}dx}\leq\sqrt[n]{\int_{a}^{b}[f(x)]^{n}dx}\leq M(b-a)^{\frac{1}{n}}
而
f(x)连续，
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\xi_{n}=\xi，
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{2}{n})^{\frac{1}{n}}=1，
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(b-a)^{\frac{1}{n}}=1；
根据夹逼准则有
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\int[f(x)]^{n}dx}=M；
（2）同理
\xi=a或者
\xi=b类似.
3.13 （莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题）
设
f(x)在
[a,b]上连续，对一切的
\alpha，
\beta(a\leq\alpha\leq\beta\leq b)，有
|\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx|\leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta}
其中
M，
\delta为正常数，求证：
f(x)\equiv 0，
x\in[a,b]解：取
\forall x_{0}\in[a,b]，用积分中值定理有，
\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)dx=f(x_{0}+\theta h)h，上述
x_{0}+h\in[a,b]，
h\neq 0，
0<\theta<1，故
|\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)dx|=|f(x_{0}+\theta h)h|\leq M|h|^{1+\delta}
|f(x_{0}+\theta h)|\leq M|h|^{\delta}
对右边式子取极限，
\underset{h\rightarrow 0}{\lim}M|h|^{\delta}=0，且
f(x)连续，有
\underset{h\rightarrow 0}{|f(x_{0}+\theta h)|}=f(x_{0})=0
所以
f(x)\equiv 0，
x\in[a,b].
今天的题目就到这里了，这两题综合利用了极限的定义，以及积分中值定理，另外还有放缩法，综合性强，大家好好体验，有问题留言，谢谢大家的支持。
写作日期：6.25
作者：小熊
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