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考研竞赛每日一练 day 37 利用等式关系构造微分方程求解一道偏导数问题

问题 利用 关系 每日 竞赛 求解 构造 Day
2023-06-13 09:13:16 时间

利用等式关系构造微分方程求解一道偏导数问题

设函数

f(u)

具有二阶连续导数，

f(0)=1

，

f^{'}(0)=-1

，且当

x\neq 0

时，

z=f(x^2-y^2)

满足等式

\displaystyle\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\dfrac{2}{x}\dfrac{\partial z}{\partial x}=(y^2-x^2)\left(z+\cos \dfrac{x^2-y^2}{2}\right)

求函数

f(u)

解析：分析，题目给出了偏导数，所以我们首先求出偏导数，根据偏导数对应的法则，可以求得

\dfrac{\partial z}{\partial x}=2xf^{'}

，

\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=2f^{'}+4x^2f^{''}

，

\dfrac{\partial z}{\partial y}=-2yf^{'}

，

\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-2f^{'}+4y^2f^{''}

；带入等式有

4(x^2-y^2)f^{''}(x^2-y^2)=(y^2-x^2)[f(x^2-y^2)+\cos\dfrac{x^2-y^2}{2}]

即有

f^{''}(u)+\dfrac{1}{4}f(u)=-\dfrac{1}{4}\cos\dfrac{u}{2}

，此方程是二阶常微分方程，先求通解，再求特解；

通解的特征方程为

\lambda^2+\dfrac{1}{4}=0

，解为

\lambda_{1,2}=\pm \dfrac{1}{2}i

，所以通解为

f(u)=C_{1}\cos \dfrac{u}{2}+C_{2}\sin\dfrac{u}{2}

，特解可以设

f^{*}(u)=u(A\cos\dfrac{u}{2}+B\sin\dfrac{u}{2})

，带入得

-A\sin\dfrac{u}{2}+B\sin\dfrac{u}{2}=-\dfrac{1}{4}\cos \dfrac{u}{2}

，解得

A=0

，

B=-\dfrac{1}{4}

所以原方程通解为

f(u)=C_{1}\cos\dfrac{u}{2}+C_{2}\sin\dfrac{u}{2}-\dfrac{1}{4}u\sin\dfrac{u}{2}

，而初始值

f(0)=1

，

f^{'}(0)=-1

，得

C_{1}=1

，

C_{2}=-2

，则

f(u)=\cos \dfrac{u}{2}-(\dfrac{1}{4}u+1)\sin\dfrac{u}{2}

.

点评：综合考察了偏导数的定义，以及构造微分方程的思想，后面解常微分方程是一个常规解法，考察的点多，是一道好题。

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