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考研竞赛每日一练 day 10 一道考察极限基本解法的综合题

10 基本 每日 极限 竞赛 Day 一道 考研
2023-06-13 09:13:16 时间

一道考察极限基本解法的综合题

设

f(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\sin x\cdot(\dfrac{t}{x})^{\frac{t^3}{t-x}}

，求

\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)-x}{x^3}

【分析】：首先对

f(x)

进行化简，可知对原式可以用重要极限，而后，对于后面的极限，可以考虑加项减项进行拆分，再用等价无穷小或者泰勒展开即可。

【解析】：由题意知，对

f(x)

直接进行化简，有

f(x)=\lim\limits_{t\rightarrow x}\sin x(\dfrac{t}{x})^{\frac{t^3}{t-x}}=\sin x\lim\limits_{t\rightarrow x}\left[(1+\frac{t-x}{x})^{\frac{x}{t-x}}\right]^{\frac{t^3}{x}}=e^{x^2}\sin x

对后面极限处理，带入有，

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{f(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\sin xe^{x^2}-x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{e^{x^2}\sin x-\sin x}{x^3}+\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\sin x-x}{x^2}\end{align*}

对于前者，

\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{e^{x^2}\sin x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{e^{x^2-1}}{x^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}=1
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\dfrac{1}{6}

综上，所以原式

=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}

作者：小熊

写作日期：10.8

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