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考研竞赛每日一练 day 19 一道级数含参数的问题

问题 参数 每日 19 竞赛 Day 一道 考研
2023-06-13 09:13:16 时间

一道级数含参数的问题

若

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2+bn+c}{n!}=0

，求

b+c

【法一】：利用级数项的性质，进行变形有

\begin{align*}\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n-1+1}{(n-1)!}\\&=\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{(n-2)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=2e\end{align*}
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n}{n!}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=e

由题意知，

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2+bn+c}{n!}=0

，即

0=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2+bn+c}{n!}=2e+be+ce=(2+b+c)e\Rightarrow b+c=-2

【法二】：考虑幂级数的和函数，找对应项系数关系，设

f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{bn+c}{n!}
\begin{align*}\displaystyle f(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}x^n+b\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}+ce=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n+1}{n!}x^{n+1}+(b+c)e\\&=x^2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}x^{n-1}+x\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^{n}+(b+c)e\\&=x^2e^x+xe^x+(b+c)e=(x^2+x)e^x+(b+c)e\end{align*}

令

x=1

，带入有

f(1)=0

，即

2e+(b+c)e=0\Rightarrow b+c=-2

作者：小熊

写作日期：2021-10-26

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