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竞赛好题暑假练习7

练习 竞赛 暑假 好题
2023-06-13 09:13:16 时间

利用微分方程求解两道杂题

求级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\dotsb\cdot(2n-1)}

的和

分析：先设原级数的和函数为

S(x)

，再利用求导构造

S(x)

与

S^{'}(x)

的关系，构造微分方程，解出解既可以得到和。

解析：设和函数为

S(x)

，则可以

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\dotsb\cdot(2n-1)}=x+\frac{x^3}{1\cdot 3}+\frac{x^5}{1\cdot 3\cdot 5}\dotsb

求导一下

\begin{align*}\displaystyle S^{'}(x)&=1+x^2+\frac{x^4}{1\cdot 3}+\frac{x^6}{1\cdot 3\cdot 5}+\dotsb\\&=1+x\left(x+\frac{x^3}{1\cdot 3}+\frac{x^5}{1\cdot 3\cdot 5}+\dotsb\right)\\&=1+xS(x)\end{align*}

所以得

S^{'}(x)=1+xS(x)

，且

S(0)=0

，所以解为：

\displaystyle S(x)=e^{\int_{0}^{x}xdx}\int_{0}^{x}e^{-\int_{0}^{x}xdx}dx=e^{\frac{x^2}{2}}\int_{0}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx

设

f(x)

为可微函数，解方程

\displaystyle f(x)=e^x+e^x\int_{0}^{x}[f(t)]^{2}dt

分析：此题对方程两边进行求导，构造微分方程利用隐含条件求出解。

解析：对方程两边进行求导，

\displaystyle f^{'}(x)=e^x+e^x\int_{0}^{x}[f(t)]^{2}dt+e^x[f(x)]^2

带入原方程，有

f^{'}(x)=f(x)+e^{x}[f(x)]^2

，变形的

\displaystyle \frac{f^{x}}{f^{2}(x)}-\frac{1}{f(x)}=e^x

，知

\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)^{'}=-\dfrac{f^{'}(x)}{f^{2}(x)}

，令

g(x)=\dfrac{1}{f(x)}

，则有

g^{'}(x)+g(x)=-e^x

，

\begin{align*}\displaystyle g(x)&=e^{-\int dx}\left[\int e^{\int dx}(-e^x)dx+C\right]\\&=e^{-x}\left[-\int e^{2x}dx+C\right]\\&=Ce^{-x}-\frac{1}{2}e^x\end{align*}

而

f(0)=1

，还原得

f(x)=\dfrac{1}{Ce^{-x}-\frac{1}{2}e^x}

，解得

C=\dfrac{3}{2}

，所以

f(x)=\dfrac{2}{3e^{-x}-e^x}

作者：小熊

写作日期：7.16

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