「NOIP模拟赛」欧拉口算 题解
模拟 题解 欧拉 noip
2023-06-13 09:12:49 时间
「NOIP模拟赛」欧拉口算 题解
题目描述
令 C(n) 表示 把 n 拆分成 a\times b=n(a\leq b) 且 a,b 的因子个数相同的方案数 给定一个整数n，(1 \leq n \leq 100)。 求出C(n!)。
思路
先把n!拆成若干个质数的乘积。 即：n!={p_1}^{c_1} \times {p_2}^{c_2} \times \dots \times {p_{tot}}^{c_{tot}}。 然后设dp[i][j]表示在n!=a\times b中a的目前约数个数为i,b的目前约数个数为j的方案数。 很显然，dp[i\times (k+1)][j\times (c_p-k+1)]+=dp[i][j](0\leq k \leq c_p,1\leq p\leq tot)。 答案就是\sum{}{}dp[i][i]。 当然，这样肯定会TLE。所以运用一下\text{meet in the middle}算法的思想。 分别求出dp1,dp2，分别表示2、3、5、7这四个素数下的方案与11、13…97素数下的方案。 这样的答案就是\sum{}{}dp1[i][j]*dp2[i1][j1]且满足i/i1=j1/j。 但是dp数组下标太大了，不会hash，所以就是用map了。
code
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
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#include<list>
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#include<map>
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#include<typeinfo>
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#include<cctype>
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#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else{
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
}
int n,tot,mi,ans=0,sum=1,Ans[5010],ttt;
int f[5010],top,g[5010],Gu[5010];
int Get(int x){
// cout<<"Get "<<x<<endl;
for(int i=2;i<=x;i++){
if(x%i==0){
while(x%i==0) x/=i,f[i]++;
}
// cout<<i<<" "<<x<<endl;
if(x==1) break;
}
}
map<pair<int,int>,int> dp1,dp2;//lef,rig,dp_val
pair<int,int> mp(int x,int y){
pair<int,int> pp;pp.first=x;pp.second=y;return pp;
}
int gcd(int a,int b){
return !b?a:gcd(b,a%b);
}
map<pair<int,int>,int> getmap(int l,int r){
map<pair<int,int>,int> m1,m2;
m1.clear();m2.clear();
m1[mp(1,1)]=1;
for(int i=r;i>=l;i--){
if(f[i]!=0){
m2.clear();
for(map<pair<int,int>,int>::iterator j=m1.begin();j!=m1.end();j++){
for(int k=0;k<=f[i];k++){
int x=(*j).first.first*(k+1),y=(*j).first.second*(f[i]-k+1);
int g=gcd(x,y);x/=g;y/=g;
m2[mp(x,y)]+=(*j).second;
}
}
m1.swap(m2);
}
}
return m1;
}
signed main(){
cin>>n;
if(n==1){
puts("1");
return 0;
}
for(int i=2;i<=n;i++) Get(i);
dp1=getmap(7,97);
dp2=getmap(0,6);
for(map<pair<int,int>,int>::iterator i=dp1.begin();i!=dp1.end();i++){//x1/x2=y2/y1
if(dp2.count((*i).first)==1) ans+=dp2[(*i).first]*dp1[(*i).first];
}
write(ans/2);putchar('\n');
return 0;
}