对称、群论与魔术（十）——魔术《吉普赛测试》等

吉普赛测试

先看表演。

视频1 吉普赛测试

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作品来源

这个作品的原版我没有考究到，不过我第一次看到是一个叫数学魔术的公众号里一个数学老师的作品。原作的原型想法很棒，但魔术上比较粗糙，严格来讲只能算是个智力测验，保证观众能够选到一个特定的选项。但是我这里重新设计编排和编码了选项，使得效果变成巧合，操作记忆也更加方便，成为一个可行的魔术效果。

数学设计思路分享

首先我们知道，这个正方形的纸片，因为你拿出来时候旋转方位的不同，有4个可能的相位，都是合理对称的选择。那自然地，我们可以对一个log 4 bit的选择，去做一个对称式的效果。于是理论上，最简单的方案便是，正方形纸上应该是4个图案，分别在4个角上或四条边上，观众说要哪个角或边，我们把要选的图案转过去打开即得。

可这么包装我们的数学原理也太暴殄天物了吧。我们尝试把这件事情包装成一个更有难度的选择，并且去增加选择过程进而掩盖我们旋转了纸片的事实。

于是我们尝试着把纸片上的4种图案画在16个格子里（当然也可以更多，无非是4个元素去扩展很多倍罢了），这16个格子其实是在C4变换下恰好分成4个互不相交的集合。显然，每个集合里都应该包含这4个图案的某种排列，这样无论观众选中的是这些格子里的哪一个，那都可以对应到这4个集合，然后对应到我们知道应该要转一定圈数进而转到合适的位置。

我选用的4个图案，圈，十字，方块和井字也是有讲究的，它们本身具有C4的对称性，因此才有了我怎么转着打开也合理。看到的样子也分不清上下左右，也合理，不然的话更好记忆的应该是三角形，而这里只能是方块和与它同构的井字作为3和4了。

这一点很关键！如果用的不是C4对称性的图案，观众又认识，本身有主观的上下区分的话，这里就绕不过去了！

那怎么编码这个系统使得更容易计算呢？我们知道这里的解，理论上应该有4! ^ 4 / 4种之多。但是我们并不关心总数，而只关心最方便编码记忆的那一种，而且不能是那种很多相同图案凑在一块那种一看就明显特征的解。我们把以上4个图案先编码为1234，尝试着把整个4 * 4的格子拆分成4个部分，即四个2 * 2的角块，于是可以看到这4个元素应该刚好遍历4个图案是一个不错选择，刚好1234去填充作为基础模块。那其他的角块怎么填充呢？

如果我们是要去找对应的集合，那就应该以此旋转90度去构造，但是我们要的是每个集合去遍历所有形状啊。没错，直接平移过去，那等价于每次都旋转了90度，以此使得每一个集合恰好完成了一次4个图案的遍历，那么任何一个集合被选到，我们都可以找到操作转过去。具体地，我们把观众选的图案1234编号，选的位置按照在方块里的旋转位置也1234编号，如果二者相同比如观众选1图案圈，选的是(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)这样的位置，那就直接打开，如果选的2呢？那上面这些位置该如何显示1变成2呢？很简单，逆时针90度，就把2转过来了，如果是3就180度，4的话就是顺时针90度。因为那些平移关系的图案恰好可以在这些旋转中找到位置，顺时针表示图案值减1，逆时针加1，和函数平移时候的变换方式类似。

魔术想法

除了数学上的设计以外，最后聊下表演上的想法。为了增加魔术效果，经过几次修改，我最终定稿为一个巧合的效果，增加了选择的次数，可以双人互动，也比单次的预言来得有趣和形式多样。这些都是为数学魔术锦上添花的，唯独数学本身是这一切的根基。

上面这个《吉普赛测试》的魔术可以说是这个系列里对称操作原理的一个集中体现了（再前面两个作品也都是）。不过除此以外，还有不少魔术也用到了这个原理，但不是唯一原理。即当我们用或数学或魔术的方法，把观众的选择空间限定到非常有限的几种，尤其是两种的时候，我们通过对称性地选择对应的那个效果来展现，这在魔术里叫做multi-outs。

举例子的话可以说是浩如烟海了，比如常见的pit hartling那个2预测13张的魔术就有用13个outs完成，dai vernon的tiny berglas也被我扩展成了9个outs，而magician's choice更是这个原理的直接应用了，可以说，这个对称选择的过程就是魔术本身了。又比如庄惟栋老师《反转千数》中意曲那个章节的魔术，也是典型应用；cross force里询问“你要上面还是下面的”双关语，本质也是一个意思；还有很多巴格拉斯效果里从顶部还是底部发，要不要计入眼前这一张牌等等……

可见multi-outs真的是一个在魔术领域里普遍适用的一个原理，而我们在数学上，称之为对称合理操作原理，是一个意思。

下面我们最后回顾一个作品，当时是以Si Stebbins Stack的原理主题介绍的，不过里面也微微用到了今天所讲的对称原理。

Savvi magic

我前面说了，利用这类对称完成的魔术还有很多，有的是以其为主要效果，有的只是锦上添花。这里我再补充一个魔术作为例子，在《Si Stebbins Stack中的数学与魔术（八）——魔术《savvi magic》》中我们已经把其关于周期性和中国剩余定理的原理作了详细讲解，细节大家可以回去参考，不再详细讲解。

但是，如果从我们这个系列的利用操作的对称性来完成巧合的逻辑，这里对广告牌翻转方式的选择的D2群，以及和观众所选点数所在范围的不同之间的默默对应，正是本系列所讲的对称巧合的原理，堪称解决这个魔术设计最后一步的点睛之笔。只不过当时讲的是更具体的序列本身相关的Si Stebbins Stack的周期性，但更顶层的归纳和抽象仍然是对称，它们抽象层级不同，但都十分重要。有兴趣可以回顾以下视频：

视频2 savvi magic

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注意，这里举的例子是对称操作来构造巧合，而还有一种此类对称性的应用，不是去主动去操作来巧合，而是在魔术的交代一步中，去利用对称操作的二阶性质来掩饰事情，可理解为负负得正。比如Mark Wilson魔术百科全书里介绍的回柄旋转技巧来掩盖一个刀面的魔术，通过翻转和旋转同时操作来达成不变的效果，此为变为不变；而像Out of This World魔术中的Switch操作，都是要反向一次；还有集合原理的《乱七八糟》，下期要聊到的刘谦春晚经典作品《幻镜》也用到了类似的技巧。这些作为魔术的交代部分，难以察觉，此为不变之变。本质上它们也都利用的人脑并不是每次都建模得那么仔细的毛病，而只有严谨的社学结构才能够战胜之。这类型的应用通常只是在魔术中起到交代的作用，这里不单独拍魔术了，日后有机会还会提到的。

好了，本篇的内容就到这里，不过还没完，下一篇还有最后一个作品和全系列的总结和展望，敬请期待！

老规矩，下期的视频先奉上！

视频3 百变箭头

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