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树上路径求交
路径 树上
2023-06-13 09:11:02 时间
正文
树上路径求交,有一个结论:
对于 a \to b 与 c \to d 的路径的交,首先求出 l_1 = \operatorname{lca}(a,c),l_2 = \operatorname{lca}(a,d),l_3 = \operatorname{lca}(b,c),l_4 = \operatorname{lca}(b,d).
然后找出其中深度最大的两个点,记为 p_1,p_2,此时:
- p_1 \neq p_2,两条路径一定有交,且路径交的端点为 p_1 与 p_2.
- p_1 = p_2,\operatorname{dep}(p) \ge \max(\operatorname{dep}(\operatorname{lca}(a,b)),\operatorname{dep}(\operatorname{lca}(c,d))),两条路径有交,交点为 p 点。
- 否则无交点。
那么就可以常数巨大地用树剖等求 \operatorname{lca},然后若干次询问解决。
当然,一个可能更优的做法是转欧拉序,然后用 RMQ 来解决,偷懒用个 ST 表可以做到 O(1) 处理询问,在多次询问 \operatorname{lca} 时可能有一定优势。
然而实际上优势不大,因为预处理太慢了……
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <ctype.h>
const int bufSize = 1e6;
inline char nc()
{
#ifdef DEBUG
return getchar();
#endif
static char buf[bufSize], *p1 = buf, *p2 = buf;
return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, bufSize, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
}
template<typename T>
inline T read(T &r)
{
static char c;
static int flag;
flag = 1, r = 0;
for (c = nc(); !isdigit(c); c = nc()) if (c == '-') flag = -1;
for (; isdigit(c); c = nc()) r = r * 10 + c - 48;
return r *= flag;
}
const int maxn = 5e5 + 100;
int n, m, s;
struct node
{
int to, next;
} E[maxn << 1];
int head[maxn];
inline void add(const int& x, const int& y)
{
static int tot = 0;
E[++tot].next = head[x], E[tot].to = y, head[x] = tot;
}
int dep[maxn], id[maxn << 1], vis[maxn], cnt;
void dfs(int u, int fa)
{
id[vis[u] = ++cnt] = u, dep[u] = dep[fa] + 1;
for (int p = head[u]; p; p = E[p].next)
{
int v = E[p].to;
if (v == fa) continue;
dfs(v, u), id[++cnt] = u;
}
}
int st[maxn << 1][20], lg[maxn << 1];
void init()
{
for (int i = 2; i <= cnt; ++i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for (int i = 1; i <= cnt; ++i) st[i][0] = id[i];
for (int j = 1; (1 << j) <= cnt; ++j)
for (int i = 1, len = 1 << (j - 1); i + len <= cnt; ++i)
st[i][j] = dep[st[i][j - 1]] < dep[st[i + len][j - 1]] ? st[i][j - 1] : st[i + len][j - 1];
}
inline int ask(int l, int r)
{
int k = lg[r - l + 1], t = r - (1 << k) + 1;
return dep[st[l][k]] < dep[st[t][k]] ? st[l][k] : st[t][k];
}
int main()
{
read(n), read(m), read(s);
for (int i = 1, u, v; i < n; ++i) read(u), read(v), add(u, v), add(v, u);
dfs(s, 0);
init();
for (int i = 1, a, b; i <= m; ++i)
{
read(a), read(b);
if (vis[a] <= vis[b]) printf("%d\n", ask(vis[a], vis[b]));
else printf("%d\n", ask(vis[b], vis[a]));
}
return 0;
}
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