机器学习小组知识点10：多项式分布（Mutibinomial distribution）

介绍

把二项分布公式再推广，就得到了多项分布。 二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为 p p, 重复扔 n n次硬币， k k次为正面的概率即为一个二项分布概率。（严格定义见二项分布中伯努利实验定义）

把二项扩展为多项就得到了多项分布。比如扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是 16 \frac{1}{6}（对应 p1 p_1至 p6 p_6，它们的值不一定都是 16 \frac{1}{6}，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子）,重复扔 n n次，如果问有 x x次都是点数6朝上的概率就是： Cxn∗px6∗(1−p6)n−x C_n^x*p_6^x*(1-p_6)^{n-x}

更一般性的问题会问：“点数1~6的出现次数分别为( x1,x2,x3,x4,x5,x6 x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)时的概率是多少？其中 ∑6ixi=n \sum_i^6x_i=n”。这就是一个多项式分布问题。这时只需用上边公式思想累乘约减就会得到下面图1的概率公式。

某随机实验如果有 k k个可能结局 X1,X2,⋯,Xk X_1,X_2,\cdots,X_k，它们的概率分布分别是 p1，p2,⋯,pk p_1，p_2,\cdots,p_k，那么在N次采样的总结果中， X1 X_1出现 n1 n_1次， X2 X_2出现 n2 n_2次 ⋯ \cdots Xk X_k出现 nk n_k次的这种事件的出现概率 P P有下面公式： f(x1,…,xk;n,p1,…,pk)=Pr(X1=x1 and … and Xk=xk)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪n!x1!⋯xk!px11⋯pxkk,0when ∑ki=1xi=notherwise, {\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\text{ and }}\dots {\text{ and }}X_{k}=x_{k})\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\text{when }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}} 这就是多项分布的概率公式。把它称为多项式分布显然是因为它是一种特殊的多项式展开式的通项。 注意:显然二项分布是多项分布的边缘分布

期望和方差

期望: 设 r r维随机变量（ x1,x2,⋯,xr x_1,x_2,\cdots,x_r）服从多项分布，则数学期望是

E(x1,x2,⋯,xn)=(np1,np2,⋯,npr)

E(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(np_1,np_2,\cdots,np_r)

方差： Var(xi)=npi(1−p)i，i=1,2,⋯,r Var(x_i)=np_i(1-p)_i，i=1,2,\cdots,r

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