【RSA原理5】浅谈--密钥如何生成及其可靠性说明
前面讲了一些数论的基础知识,理解了什么是欧拉函数、欧拉定理以及如何求模反元素,那么接下来的问题就是如何生成密钥。
目录
1.公钥私钥生成过程
第一步:随机选择两个不相等的质数p和q
比如选择61和53(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解)。
第二步:计算p和q的乘积n
n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。
第三步:计算n的欧拉函数φ(n)
φ(n) = (p-1)(q-1)
φ(3233) = φ(61)*φ(53)=60*52=3120
算出φ(3233)等于60×52,即3120。
第四步,随机选择一个整数e
条件是在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537)
第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d
所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
ed - 1 = kφ(n)
于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120,
17x + 3120y = 1
这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解,此处后续将会介绍。最后算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。
第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。
通过上述计算得到:n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。
实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。
至此所有计算完成。
2.可靠性分析
通过前面的计算,得到了若干数据,可能感觉比较乱,为了方便后续的理论分析,我将出现的数据进行列表展示。
p | 61 |
q | 53 |
n | 3233 |
φ(n) | 3120 |
e | 17 |
d | 2753 |
这六个数字之中将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。
那么进一步分析,有无可能私钥d会被破解出来?在知道了公钥n和e后能否推导出d?
① ed - 1 = kφ(n):如果想知道d,就必须要知道e和φ(n)。
② φ(n) = (p-1)(q-1):如果想求φ(n) ,那么就要知道p和q。
③ n=pq:只有将n因数分解,才能算出p和q。
可以发现,如果n被因数分解了,那么d就会被推导出来,那么私钥就会丢失。想想看n很容易被分解么?
其实大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道:
"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解(1024位以上就已经无法破解了)。
只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413 。
事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
3.总结
我通过了一段时间的学习,对非对称加密公钥私钥生成有了初步的认识,后期将会对其如何加密解密进行说明。相信只有懂得原理,才能更好的发展。欢迎大佬的补充留言。
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