用核函数衡量相似度

起初，在逻辑回归中如果我们遇到像下图这样看起来较复杂的非线性边界：

显然，只用线性的${\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$无法划分这两个类别的样本，一种做法是向表达式中添加一些更高次的项，比如$x_1^2,x_1{x}_2,x_1^6{x}_2^7$等等，再此基础之上进行逻辑回归。

但是，这样的高次式有无限多可能，我们没法直观地判断出到底是$x_1^2$更好还是$x_1{x}_2$更好，在特征值数目更多的情况下这样的情况会更加严重。我们需要一个更有效的构造特征值的方式。

最终，相似度脱颖而出，成为我们构造特征值的上好选择。相似度描述的是两个向量之间的接近程度，有许多种函数都可以实现这个功能。在这里，我们选用的是高斯函数，定义两个向量$\vec{x}$和$\vec{l}$之间的相似度为$$f=\text{similarity}(\vec{x},\vec{l})=\exp (-\frac{||\vec{x}-\vec{l}|{|}^2}{2{\sigma }^2})$$
这样的函数，我们就称为核函数，核函数的函数值随着周围点距离核（也就是$\vec{l}$）的距离和参数$\sigma$而改变。距离核越远，函数值越小，而$\sigma$控制核函数的变化速率，$\sigma$越大，核函数的变化越平缓，反之越陡峭。

利用相似度构建回归

我们可以看到，通过核函数，我们就可以构造出一个圆形且从圆心向无穷远处递减的区域。如果我们将多个核函数组合在一起，就可以构造出一个复杂的非线性决策边界。那么，如何选取核函数的核呢？

一个简单的做法就是，把所有样本点都作为核，一个样本的特征值就是它与所有样本点的相似度。具体来讲，我们把一个样本向量$\overrightarrow{x_i}$的特征值向量$\overrightarrow{f_i}$定义为
$$\overrightarrow{f_i}=\left[\begin{array}{c}\text{similarity}(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_1})\\ \text{similarity}(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_2})\\ ⋮\\ \text{similarity}(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_m})\end{array}\right]$$
而我们的假设函数$h_{\theta }$则变为${\theta }^{T}f$，即
$${\theta }_0{f}_0+{\theta }_1{f}_1+\cdots +{\theta }_m{f}_m$$
所以我们需要最小化的代价函数$J(\theta )$变为
$$C\sum _{i=1}^m[y^{(i)}{\text{cost}}_1({\theta }^T{f}^{(i)})+(1-y^{(i)}){\text{cost}}_0({\theta }^T{f}^{(i)})]+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^m{\theta }_j^2$$
看起来，似乎逻辑回归一样可以运用核函数。但根据吴恩达所说，核函数搭配逻辑回归的运算速度很慢，现有的许多优化都是针对SVM+核函数的，这两者搭配在一起才能事半功倍。

关于参数

和别的回归类似，我们可以通过控制参数来调整模型的偏差与方差，$C$的作用在上一篇博客已经讲过了，而核函数参数$\sigma$的作用可以很容易的观察出来：当$\sigma$较小时，核函数非常陡峭，只允许很小的偏差，所以是个低偏差高方差模型，反之是个高偏差低方差模型。