K次方求和 / The Sum of the k-th Powers

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题目大意

给你 n,k，要你求 i=1~n 每个 i^k 的和。

思路

首先重新给式子：
$\sum _{i=1}^n{i}^k$

然后这个东西你设成 $f(n)$，它其实是一个 $k+1$ 次的多项式。

这里简单的证明一下：
你可以通过差分它得到 $i^k$，然后接着每次差分就依次变成：
$i^{k-1},i^{k-2},...$

最后会变成 $i^0=1$，即全部都是 $1$ 的数组。（这个是 $0$ 次的）
所以反过来就是前缀和，每次次数加一，加到 $i^k$ 是 $k$ 次，再前缀就是 $k+1$ 次了。

然后你就直接用拉格朗日插值，你任意取值就直接取 $1\sim k+2$ 的值，然后用连续的那种搞可以了。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

ll n, k, y[1000003], jc[1000003];
ll ans, now, pre[1000003], suf[1000003];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll work(int k, int n) {
	pre[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		pre[i] = pre[i - 1] * (k - i + mo) % mo;
	suf[n + 1] = 1;
	for (int i = n; i >= 1; i--)
		suf[i] = suf[i + 1] * (k - i + mo) % mo;
	jc[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = (ans + y[i] * pre[i - 1] % mo * suf[i + 1] % mo * ksm(jc[i - 1] * jc[n - i] % mo * (((n - i) & 1) ? mo - 1 : 1) % mo, mo - 2) % mo) % mo;
	}
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%lld %lld", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= k + 2; i++) {
		now = (now + ksm(i, k)) % mo;
		y[i] = now;
	}
	
	printf("%lld", work(n, k + 2));
	
	return 0;
}