[图论] 树剖LCA

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379

【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式：

输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

输出样例#1：

4
4
1
4
4

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：2、4的最近公共祖先，故为4。

第二次询问：3、2的最近公共祖先，故为4。

第三次询问：3、5的最近公共祖先，故为1。

第四次询问：1、2的最近公共祖先，故为4。

第五次询问：4、5的最近公共祖先，故为4。

故输出依次为4、4、1、4、4。

题解

TarjanLCA只能离线，好多题用Tarjan写都贼麻烦，所以博主学了一个树剖LCA，$O(n)$预处理，$O(lo{g}_{2}n)$查询，甚至比倍增LCA优秀。。。

第一个dfs求出所有节点的爸爸，大小，深度和大儿子，这个大儿子就是最大的（节点数最多的）儿子，求出这个儿子可以尽量使剖出的链比较长，方便后面的查询。

第二个dfs就是将树剖成链了，每个节点记录当前链的起点，优先顺着大儿子dfs，其他的节点再以其本身为链的起点进行树剖。

求LCA的时候，只需比较两个点所在链的起点的深度，将深度大的顺着链往上跳，跳到链的起点的爸爸，直到个点跳到了同一条链上，输出深度较浅的那个点就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=500005;
struct node{
	int dad,son,deep,size,top;
	node()
	{memset(this,0,sizeof(this));}
};
vector<int>edge[M];
node tree[M];
int n,m,s,root,r;
char c;
int read()
{
	r=0;
	c=getchar();
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	while(isdigit(c))r=(r<<1)+(r<<3)+c-'0',c=getchar();
	return r;
}
void out(int x)
{
	if(x>9)out(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void in()
{
	int a,b;
//	scanf("%d%d%d",&n,&m,&root);
	n=read();m=read();root=read();
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
	//	scanf("%d%d",&a,&b);
		a=read();b=read();
		edge[a].push_back(b);
		edge[b].push_back(a);
	}
}
int dfs1(int v,int f,int d)
{
//	printf("%d\n",v);
	tree[v].dad=f;
	tree[v].deep=d;
	tree[v].size=1;
	int fats=-1;
	for(int i=edge[v].size()-1;i>=0;--i)
	{
		if(edge[v][i]==f)continue;
		tree[v].size+=dfs1(edge[v][i],v,d+1);
		if(tree[edge[v][i]].size>fats)
		fats=tree[edge[v][i]].size,tree[v].son=edge[v][i];
	}
	return tree[v].size;
}
void dfs2(int v,int top)
{
//	printf("%d\n",v);
	tree[v].top=top;
	if(!tree[v].son)return;
	dfs2(tree[v].son,top);
	for(int i=edge[v].size()-1;i>=0;--i)
	{
		if(edge[v][i]!=tree[v].dad&&edge[v][i]!=tree[v].son)
		dfs2(edge[v][i],edge[v][i]);
	}
}
int lca(int a,int b)
{
	while(tree[a].top!=tree[b].top)
	{
		if(tree[tree[a].top].deep<tree[tree[b].top].deep)
		b=tree[tree[b].top].dad;
		else a=tree[tree[a].top].dad;
	}
	if(tree[a].deep<tree[b].deep)
	return a;
	return b;
}
void ac()
{
	int a,b;
	dfs1(root,0,1);
	dfs2(root,root);
//	for(int i=1;i<=n;++i)
//	printf("%d\n",tree[i].top);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
	//	scanf("%d%d",&a,&b);
		a=read();b=read();
		out(lca(a,b));
		putchar(10);
	}
}
int main()
{
	in();ac();
	return 0;
}