挑战性题目DSCT501：大整数因子分解

问题描述

大整数质因子分解。

题解

笑死，数据结构课背包都不讲，却给学生出泼辣肉，我的心里只有感恩。

因为本题的数据范围巨大，传统的$O(\sqrt{n})$的质因数分解已经不适用，需要另外的算法。

首先是质数探测算法——Miller_rabin算法，其基于费马小定理，若p是质数，$a^{p-1}\equiv 1\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\right)$。同时，若$p$为质数，$x^2\equiv 1\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\right)$可推出$x=1orp-1$。所以，我们要判断一个质数是否是质数时，先套费马小定理判断，如果符合费马小定理，再判断$(n-1)/2$是否满足上述第二个性质，如果对于一个预先设定的质数集合p[]（本人使用的集合为$2,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022$），数字$n$均通过上述检验，则认为其是质数。

之后，再利用大整数因数探测算法Pollar_Rho算法，若正整数$n$至少有一个因子不超过$\sqrt{n}$，设它任意一个因子为$p$，若随机生成$p$以内的数，期望$O\left(\sqrt{p}\right)$次就可以随机到两个一样的数。

随机生成$[1,n]$的正整数，它们$modp$下可近似看做在$[1,p]$内随机，随机生成两个数$a,b(b>a)$，若$b=a(modp)\to p|(b-a)\to gcd(n,b-a)\ge p$

那么$gcd\left(n,b-a\right)$必为$n$的一个大于$1$的因数。令随机数这样生成：$a_0=C,f\left(x\right)=x^2+C,a_i=f\left(a_{i-1}\right)$即跳一步就套用一次$f\left(x\right)$。这样做的好处是：若$a_x=a_y\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\right)\to a_{x+1}-a_{y+1}=f\left(a_x\right)-f\left(a_y\right)=\left(a_x+a_y\right)\left(a_x-a_y\right)=0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 即任一距离为$d$的随机数$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$相同，所有距离为$d$的随机数$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$都相同，这样只需要检查其中一个即可。

免除记忆化：维护两个数，一个数每次调用两次$f$，一个每次调用一次，如果走完了环，最后两个数一定会相遇。同时也枚举了所有距离。

优化：瓶颈在于$gcd$，可以减少取$gcd\left(n,\left|a-b\right|\right)$的次数，将所有的$\left|a-b\right|$乘起来，累计$128$次后再与$n$取$gcd$（前提是$a,b$还没有在环上相遇），复杂度约为$O(n^{1/4})$。

代码

感谢我的超人——Rockdu提供的泼辣肉模板，说实话我也没怎么搞懂，以后有缘再学。

#pragma GCC optimize(2) 
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

LL n;

namespace NT {
	LL gcd(LL a, LL b) {
		return b ? gcd(b, a % b) : a;
	}
	LL mul(LL a, LL b, LL m) {
		LL s = a * b - (LL)((long double)a * b / m + 0.5) * m;
		return s < 0 ? s + m : s;
	}
	LL fpow(LL x, LL a, LL m) {
		LL ans = 1;
		while(a) {
			if(a & 1) ans = mul(ans, x, m);
			x = mul(x, x, m), a >>= 1;
		}
		return ans;
	}
}

namespace Miller_Rabin {
	using namespace NT;
	LL p[15] = {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022};
	int detect(LL n, LL a) {
		if(n == a) return 1;
		if(a % n == 0) return 1;
		LL now = n - 1, lst = 1;
		if(fpow(a, now, n) != 1) 
			return 0;
		while(!(now & 1)) {
			now /= 2;
			LL p = fpow(a, now, n);
			if(lst == 1 && p != 1 && p != n - 1)
				return 0;
			lst = p;
		}
		return 1;
	}
	
	LL MR(LL n) {
		if(n < 2) return 0;
		for(int i = 0; i < 7; ++i) {
			if(!detect(n, p[i])) 
				return 0;
		}
		return 1;
	}
}

namespace Pollard_Rho {
	using namespace NT;
	using namespace Miller_Rabin;
	LL f(LL x, LL C, LL p) {
		return (mul(x, x, p) + C) % p;
	}
	LL Rand() {return (rand() << 15) + rand();}
	LL Randll() {return (Rand() << 31) + Rand();}
	
	LL PR(LL n) {
		if(n == 4) return 2;
		if(MR(n)) return n;
		while(1) {
			LL C = Randll() % (n - 1) + 1;
			LL s = 0, t = 0;
			LL acc = 1;
			do {
				for(int i = 1; i <= 128; ++i) {
					t = f(f(t, C, n), C, n);
					s = f(s, C, n);
					LL tmp = mul(acc, abs(t - s), n);
					if(s == t || tmp == 0)
						break;
					acc = tmp;
				}
				LL d = gcd(n, acc);
				if(d > 1) return d;
			} while(s != t);
		}
	}
	
	typedef pair<LL, int > pii;
	vector<pii > DCOMP(LL n) {
		vector<pii > ret;
		while(n != 1) {
			LL p = PR(n);
			while(!MR(p)) 
				p = PR(p);
			int c = 0;
			while(n % p == 0) n /= p, ++c;
			ret.push_back(make_pair(p, c));
		}
		return ret;
	}
}
void out(long long x){if(x>9)out(x/10);putchar(x%10+'0');}
int main(int argc,char* argv[]) {
	srand(19260817);
	LL n=atoll(argv[1]);
	if(n==1)return 0; 
	auto ans = Pollard_Rho::DCOMP(n);
	out(ans[0].first);
	ans[0].second--;
	for(auto i : ans)
		while(i.second--) putchar('*'),out(i.first);
	return 0;
}