AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

\(AcWing\) \(883\). 高斯消元解线性方程组

一、题目描述

输入一个包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 \(m\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组示例：

输入格式
第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含 \(n+1\) 个实数，表示一个方程的 \(n\) 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个未知数的解，结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围
\(1≤n≤100\),所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 \(100\)。

输入样例：

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出样例：

1.00
-2.00
3.00

二、线性方程组知识

三、高斯消元法

求解线性方程组的办法，是高斯消元法:

• 通过一系列的加减消元，得到类似 \(kx=b\) 的式子，求得最后一个未知量的结果

• 然后逐一回代求解 整个 \(x\) 向量

以下列方程为例：

第一次加减消元，用第\(1\)式子消去后面所有的\(x\)得到：

方法：第\(①\)式左右两边除以\(2\),然后左右两边乘以\(②,③\)式中\(x\)的系数,再分别加(减)到\(②,③\)式中,我称之为系数清零消元法

第二次加减消元，用第\(2\)个式子消去后面所有的\(y\)得到：

这样就完成了高斯消元的步骤\(1\)，形成了一个倒三角形的形状，接下来逐一回代即可。

用矩阵表示高斯消元

（1）消元过程：

（2）无解： 当消元完毕后，发现有一行系数都为 \(0\)，但是常数项不为 \(0\)，此时无解

（3）多解： 当消元完毕后，发现有多行系数、常数项均为 \(0\)，此时多解，有几行为全为 \(0\)，就有几个自由元，即变量的值可以任取，有无数种情况可以满足给出的方程组

此时自由元为\(2\)个

常见问题

问题一: 为什么化简为 \(1\)的操作，和清零的操作都要倒着推?

当然也可以正着推，不过要用一个变量来记录一下开头的元素的值。化简都除以这个值就行了,不过有点麻烦，倒着推时要以省一个变量~

问题二：if (abs(a[t][c]) < eps) continue;如何理解?

假设 \(c\)表示列，\(r\)表示行，此时我们进行到了 \(c=2\) \(r=2\)

1 0 2 3
0 0 3 2
0 0 2 3

你会发现此时\(r\)行之下 的\(c\)列的绝对值最大值就是\(0\).
说明此时的第\(c\)列已经化简好了，那么不需要再进行后面的化简操作，
但是此时第\(r\)行不用变，此时\(c\)加\(1\) 就接着从 第二行 第三列 开始找绝对值最大的数。
如果我们的\(r\)向后移动了，那么此时我们的第\(2\)行是没有化简的，这显然是不对的。
以此为例，\(r\)如果向后移动了，此时\(r=3,c=3\)但是此时我们的 第二行 第三列 是 \(3\) 并不是\(1\)这种最简的形态。

问题三：倒着推解是如何来的

当有唯一解的时候，我们最后的化简一定是这种。
解的最终形式，如下所示:

我们倒着将每一行都简成每一行只有一个\(1\) 的形式。 这里模拟一下，代码就懂了。

5、手绘流程

四、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
const double eps = 1e-8;
double a[N][N];
int n;

// 数组下标从1开始
void gauss() {
    int r = 1;
    for (int c = 1; c <= n; c++) {
        int t = r;
        for (int i = r + 1; i <= n; i++)
            if (abs(a[i][c]) > abs(a[t][c])) t = i;

        if (abs(a[t][c]) < eps) continue; // 无解或无穷多解

        if (t != r) swap(a[r], a[t]);
        for (int i = n + 1; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];

        for (int i = r + 1; i <= n; i++)
            for (int j = n + 1; j >= c; j--)
                a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
        r++;
    }

    if (r <= n) {
        for (int i = r; i <= n; i++)
            if (abs(a[i][n + 1]) > eps) {
                puts("No solution");
                exit(0); // 无解
            }

        puts("Infinite group solutions");
        exit(0); // 无穷多解
    }

    for (int i = n; i >= 1; i--)
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)
            a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1];
}

int main() {
    cin >> n;
    // 增广矩阵读入，注意下标从1开始，尺寸:n*(n+1)
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
            cin >> a[i][j];

    // 0:无解，1：唯一，2：无穷多组解
    gauss();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (abs(a[i][n + 1]) < eps) a[i][n + 1] = 0;
        printf("%.2f\n", a[i][n + 1]);
    }
    return 0;
}

五. 经验教训

练习题：\(P3389\) 【模板】高斯消元法
1、一定要复制题目中输出的字符串，我就是因为No Solution -> No solution挂了第一个点
2、\(Luogu\)的模板题中，没有强制区分无解和无穷多组解。