空间直线方程及其与面线的夹角

一、空间直线的方程

1.1 空间直线的一般方程

空间直线 $L$ 可以看做是两个平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 的交线，那么就可以用两个平面方程来表示这个直线：
$$\{\begin{array}{r}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
这个叫做空间直线的一般方程。

1.2 对称式方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做直线的方向向量。要确定唯一的直线，还需要一个点。所以，已知直线 $L$ 上的一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一个方向向量 $s=(m,n,p)$ ，设点 $M(x,y,z)$ 是直线上的任意点，根据方向向量 $s=(m,n,p)$ 与 $\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 平行的事实有：
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\text{\hspace{1em}(2)}$$
你也可以叫他点向式方程。一个直线可以由多个方向向量，具体的某一个就叫做方向数，对应方向向量的预先表示叫做这个直线的方向余弦。

PS：如果方向向量中有一个分量为零，那么应该用1代替0，且独立出一个零方程，如，m为零，那么方程应该理解为：
$$\{\begin{array}{rl}x-x_0& =0\\ \frac{y-y_0}{n}& =\frac{z-z0}{p}\end{array}$$

1.3 参数方程

参数方程直接可以由公式$(2)$变形得出：
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\text{\hspace{1em}(3)}$$
即：
$$\{\begin{array}{rl}x& =x_0+mt,\\ y& =y_0+nt,\\ z& =z_0+pt,\end{array}$$

二、空间直线与直线的夹角

在解析几何中，两个直线方向向量的夹角叫做两直线的夹角。和之前遇到的问题一样，向量之间的夹角通常是$\le 180$的，所以也需要取绝对值。

设直线 $L1$ $L2$的方向向量依次是 ${\mathbf{s}}_1=(m_1,n_1,p_1)$ 和 ${\mathbf{s}}_2=(m_2,n_2,p_2)$ ，所以直线的夹角余弦可以求得：
$$\cos \phi =\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$
从上面的公式可以推出以下结论：

• 两条直线 $L1$ $L2$相互垂直的条件为： $$m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$$
• 两条直线 $L1$ $L2$相互平行或重合的条件为： $$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

三、空间直线和平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 $\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]$称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时规定夹角为90度。我们设直线的方向向量为 $\mathbf{s}=(m,n,p)$ ，平面的法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ ，设平面直线与其投影的夹角为 $\phi$ 。

如果 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n}$ 夹角为锐角那么：
$$\phi =\frac{\pi }{2}-(\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})$$

如果 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n}$ 夹角为钝角那么：
$$\phi =(\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})-\frac{\pi }{2}$$
写成一个式子则为：
$$\phi =|\frac{\pi }{2}-(\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})|$$
左右两边同时取正弦：
$$\sin \phi =\sin |\frac{\pi }{2}-(\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})|$$
也就是：
$$\sin \phi =|\cos (\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})|$$
前面已经探讨过余弦的表达式：
$$\sin \phi =\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与法向量平行所以：
$$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$$
是直线和平面垂直的条件。

因为直线在平面上或者平行相当于法向量与直线垂直，所以：
$$An+Bn+Cp=0$$