SI好文翻译：铜箔表面纹理对损耗的影响：一个有效的模型（一）

Paul G. Huray发表在DesignCon2010的提出铜箔表面雪球模型的论文。第一部分说明之前的铜箔表面模型只适用于5GHz以内，超过5GHz后就不再准确。

摘要：铜的表面粗糙度会使高速串行互连中的导体功率损耗增加一倍以上。对于 > 5Gbps 的数据速率，铜粗糙度的经验模型不够准确，无法确保信号完整性。基于观察到的铜表面纹理，使用麦克斯韦方程的严格应用开发了电磁模型。该模型准确地描述了信号的衰减和色散，其相关性已通过高达 50 GHz 的仿真和测量得到证实。该模型的一个结论是，对 RMS 表面粗糙度的传统描述具有误导性，会导致对电流如何在互连上流动的不准确预测和误解。

背景：1949 年，塞缪尔·摩根尼 (Samuel Morgani) 发表了第一篇关于导体表面粗糙度损失的研究，该研究使用二维表面变形模型对麦克斯韦方程组进行了 1% 精度的数值解。他确定，在10GHz时，横向于周期性结构的电流可能会使损耗增加100%！如果电流是平行的，损耗增加高达33%。

Morgani认为，这种额外增加的损耗可以基于这样的假设，损耗是粗糙表面相对于完全光滑金属表面的电磁集肤深度δ的RMS失真的函数。其中，完全光滑的金属表面导电率等于大块金属的导电率。（这句话好难翻译o(╥﹏╥)o）（Morgan hypothesized the cause for this additional loss was based on the assumption that the loss was a function of the RMS distortion of a rough surface relative to the electromagnetic skin depth, δ, of a perfectly smooth metal surface with conductivity equal to that of the bulk metal.）

他研究了假设粗糙度由平行或垂直于电流的无限长凹槽组成的二维情况。 摩根研究的三种几何形状是正方形、矩形和等边三角形凹槽。粗糙表面 Prough 相对于光滑表面 Psmooth 的功率损耗在图 1 中显示为 RMS 偏差/皮肤深度 (Δ/δ) 的函数。摩根分析是在计算机出现之前进行的，因此我们必须对一位研究人员感到敬畏，他用他的“计算机”（J.G.Asbury小姐，她用手进行计算）坚持以1%的精度数值计算麦克斯韦方程组的解。

 图1 Samuel Morgan 对垂直于传输线中电流方向的矩形 (□)、三角形 (Δ) 和方形 (■) 凹槽进行了二维相对功率损耗计算。左图显示了垂直于电流方向（箭头）的摩根等边三角形畸变。

叠加在 Morgan 数据上的是 Hammerstad 于 1975 年假设并于 1980 年发表的反正切函数的经验拟合（实线）。

                                         （1）

Hammerstad 对 Morgan 数据的经验拟合忽略了由于平行凹槽造成的损失，并且反正切函数没有物理基础。 可以看出经验函数 (1) 产生的最大值为 2 的粗糙与平滑功率损耗之比。

令人惊讶的是，通过数值求解（在数字计算机时代之前）麦克斯韦方程组的二维准静态形式获得的数据以及对该数据的经验拟合仍然是一些数值场解算器中表面粗糙度功率损失的基础。更令人惊讶的是，鉴于等式 (1) 给出的经验拟合，以及对由电介质传播介质引起的损耗的分析，对于许多不同材料（FR-4、Isola、Rogers、Nelco）中的微带线或带状线，在频率高于 5 GHz 的矢量网络分析仪 (VNA) 上测得的插入损耗远远低于该值。

该小组已经研究了在介电材料中传播的场的吸收，并在各种演讲和出版物中进行了报道。我们已经证明，传播介质的吸收（“介电损耗”）约占损耗的一半；即，具有玻璃纤维编织微带的复合低损耗树脂上的7英寸高轮廓走线的总功率损耗在50 GHz下仅为18 dB（复合低损耗材料上的7英尺低轮廓走线总功率损耗仅为15 dB）。图2显示了具有FR-4传播介质的7英寸长高剖面表面纹理微带的测量插入损耗（蓝色曲线）。

图 2. 使用 FR-4 传播介质的 7 英寸长隔离传输线测得的插入损耗数据以蓝色显示，绘制为 1-50 GHz 之间频率的函数。 实心绿色曲线（数据上方）是 Djordjevic 模型对 FR-4 介电损耗的拟合，并与等式 1 的 Hammerstad 经验拟合表面粗糙度损失相结合。

在图 2 中可以看出，仅在 0 到 5 GHz 范围内，测量数据与 Djordjevic 介电损耗和 Hammerstad 粗糙表面经验拟合损耗大致一致。 对于 10 GHz 以上的频率，测量数据与 Hammerstad 经验拟合之间的不一致大得无法接受。 在其他出版物中讨论了大约 35 GHz 的吸收峰。

对电流和功率损耗的误解：如图 1 所示的图形可能会导致对传输线导体/电介质界面处的表面电流流动的误解。 例如，我们在图 3 中显示了一个信号脉冲沿具有等边三角形表面失真的传输线传播时的轮廓。在以下所有图表中，红色的颜色约定用于标量电势、电荷、电荷密度和电场强度，而蓝色用于电流、电流密度和磁场强度。

 图3 信号电压脉冲（和相应的电场强度）在具有等边三角形齿结构的传输线中传播时的快照。

电场强度 以  相位速度沿传输线（在 z 方向）的传播需要铜表面上的表面电荷密度 Σ 以满足高斯定律。 由于铜表面附近的局部电场强度必须垂直于表面，如果电场强度在 FR-4 中以速度 c/2传播，相对介电常数为 εr=4，则等边三角形齿上的表面电荷密度必须以速度 c 沿导体轮廓移动。请注意，对于较低的相对介电常数或较陡的导体轮廓，表面电荷密度速度超过 c。请注意，对于较低的相对介电常数或较陡的导体轮廓，表面电荷密度速度超过 c。因为最快的传导电子处于铜费米速度 ，所以人们必须问，“局部电荷重排如何支持表面电荷密度速度？”，“是否需要考虑传播电荷的空间收缩？”“表面电荷密度能否以超过 c 的速度沿导体传播？”和“如果电流在传输线上的路径更长，为什么粗糙表面与平坦表面的到达时间没有显着延长？”答案是局部表面电荷密度是由横向于表面轮廓的传导电子的位移形成的，因此电荷密度波以支持传输线中的外部电场强度所需的任何速度传播。 没有带电粒子实际上以相对论速度运动，所以我们不需要考虑空间收缩。

一些不正确的解释甚至表明沿平坦导体表面移动的电流密度分布呈指数下降，如图 4 所示。

 图4 传播信号电场强度的快照和表面电流密度  的错误模型，因为它在完全平坦的传输线内传播。

图 4 中所示的电流密度通常被描述为随着变量 ξ 的指数下降，随着电流进入导体。一些模型甚至整合了 ξ=0 到 ξ=∞ 之间的电流密度，以表明 1 δ 深度的恒定表面电流给出相同的总导体电流，并得出以下结论：“假设所有电流都在由导体宽度和单一趋肤深度限制的区域内流动，这是一个有效的近似值。”不幸的是，这个不正确的模型会导致如图 5 所示的电流损耗分析。

 图 5. 对粗糙表面电流路径的错误解释示例。

通过错误地将电流密度分布观察到良导体的距离 ξ，作为指数衰减的电流分布，并使用分析认为该电流分布遵循表面特征以产生欧姆损耗，因为它与表面电阻相互作用导致几个不合逻辑的结论。我们必须问，“电流密度如何瞬间呈现为指数递减函数？” “我们是否已经暂停了需要在距离 ξ 处有源和时间延迟响应的因果关系？” “电流密度如何在无限陡峭或双倍的突起周围流动？” “隔离的导电材料对功率损耗没有影响吗？” 我们得出结论，指数电流渗透和欧姆损耗概念都不正确！