通常，Logistic回归用于二分类问题，例如预测明天是否会下雨。当然它也可以用于多分类问题.

Logistic回归是分类方法，它利用的是Sigmoid函数阈值在[0,1]这个特性。Logistic回归进行分类的主要思想是：根据现有数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。其实，Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(Discriminative Model)。

所以要想了解Logistic回归，我们必须先看一看Sigmoid函数 ，我们也可以称它为Logistic函数。它的公式如下：

整合成一个公式，就变成了如下公式

θ是参数列向量(要求解的)，x是样本列向量(给定的数据集).这样我们的数据集([x0,x1,...,xn])，不管是大于1或者小于0，都可以映射到[0,1]区间进行分类。hθ(x)给出了输出为1的概率

那么问题来了！如何得到合适的参数向量θ?

式即为在已知样本x和参数θ的情况下，样本x属于正样本(y=1)和负样本(y=0)的条件概率。理想状态下，根据上述公式，求出各个点的概率均为1，也就是完全分类都正确。但是考虑到实际情况，样本点的概率越接近于1，其分类效果越好。比如一个样本属于正样本的概率为0.51，那么我们就可以说明这个样本属于正样本。另一个样本属于正样本的概率为0.99，那么我们也可以说明这个样本属于正样本。但是显然，第二个样本概率更高，更具说服力。我们可以把上述两个概率公式合二为一：

为了简化问题，我们对整个表达式求对数

 这个损失函数，是对于一个样本而言的。给定一个样本，我们就可以通过这个损失函数求出，样本所属类别的概率，而这个概率越大越好，所以也就是求解这个损失函数的最大值。既然概率出来了，那么最大似然估计也该出场了。假定样本与样本之间相互独立，那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积，便可得到如下公式

 其中，m为样本的总数，y(i)表示第i个样本的类别，x(i)表示第i个样本，需要注意的是θ是多维向量，x(i)也是多维向量。

综上所述，满足J(θ)的最大的θ值即是我们需要求解的模型。

怎么求解使J(θ)最大的θ值呢？因为是求最大值，所以我们需要使用梯度上升算法。如果面对的问题是求解使J(θ)最小的θ值，那么我们就需要使用梯度下降算法。

def Gradient_Ascent_test():
    def f_prime(x_old):  # f(x)的导数
        return -2 * x_old + 4

    x_old = -1  # 初始值，给一个小于x_new的值
    x_new = 0  # 梯度上升算法初始值，即从(0,0)开始
    alpha = 0.01  # 步长，也就是学习速率，控制更新的幅度
    presision = 0.00000001  # 精度，也就是更新阈值
    while abs(x_new - x_old) > presision:
        x_old = x_new
        x_new = x_old + alpha * f_prime(x_old)  # 上面提到的公式
    print(x_new)  # 打印最终求解的极值近似值

if __name__ == '__main__':
    Gradient_Ascent_test()

目标函数

 代码

-0.017612   14.053064  0
-1.395634  4.662541   1
-0.752157  6.538620   0
-1.322371  7.152853   0
0.423363   11.054677  0
0.406704   7.067335   1
0.667394   12.741452  0
-2.460150  6.866805   1
0.569411   9.548755   0
-0.026632  10.427743  0
0.850433   6.920334   1
1.347183   13.175500  0
1.176813   3.167020   1
-1.781871  9.097953   0
-0.566606  5.749003   1
0.931635   1.589505   1
-0.024205  6.151823   1
-0.036453  2.690988   1
-0.196949  0.444165   1
1.014459   5.754399   1
1.985298   3.230619   1
-1.693453  -0.557540  1
-0.576525  11.778922  0
-0.346811  -1.678730  1
-2.124484  2.672471   1
1.217916   9.597015   0
-0.733928  9.098687   0
-3.642001  -1.618087  1
0.315985   3.523953   1
1.416614   9.619232   0
-0.386323  3.989286   1
0.556921   8.294984   1
1.224863   11.587360  0
-1.347803  -2.406051  1
1.196604   4.951851   1
0.275221   9.543647   0
0.470575   9.332488   0
-1.889567  9.542662   0
-1.527893  12.150579  0
-1.185247  11.309318  0
-0.445678  3.297303   1

 数据可视化

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

"""
函数说明:加载数据

Parameters:
    无
Returns:
    dataMat - 数据列表
    labelMat - 标签列表
"""


def loadDataSet():
    dataMat = []  # 创建数据列表
    labelMat = []  # 创建标签列表
    fr = open('testSet.txt')  # 打开文件
    for line in fr.readlines():  # 逐行读取
        lineArr = line.strip().split()  # 去回车，放入列表
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  # 添加数据
        labelMat.append(int(lineArr[2]))  # 添加标签
    fr.close()  # 关闭文件
    return dataMat, labelMat  # 返回

"""
函数说明:绘制数据集

Parameters:
    无
Returns:
    无
"""

def plotDataSet():
    dataMat, labelMat = loadDataSet()  # 加载数据集
    dataArr = np.array(dataMat)  # 转换成numpy的array数组
    n = np.shape(dataMat)[0]  # 数据个数
    xcord1 = [];
    ycord1 = []  # 正样本
    xcord2 = [];
    ycord2 = []  # 负样本
    for i in range(n):  # 根据数据集标签进行分类
        if int(labelMat[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i, 1]);
            ycord1.append(dataArr[i, 2])  # 1为正样本
        else:
            xcord2.append(dataArr[i, 1]);
            ycord2.append(dataArr[i, 2])  # 0为负样本
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)  # 添加subplot
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=20, c='red', marker='s', alpha=.5)  # 绘制正样本
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=20, c='green', alpha=.5)  # 绘制负样本
    plt.title('DataSet')  # 绘制title
    plt.xlabel('x');
    plt.ylabel('y')  # 绘制label
    plt.show()  # 显示


if __name__ == '__main__':
    plotDataSet()

# -*- coding:UTF-8 -*-
import numpy as np

def loadDataSet():
    dataMat = []  # 创建数据列表
    labelMat = []  # 创建标签列表
    fr = open('testSet.txt')  # 打开文件
    for line in fr.readlines():  # 逐行读取
        lineArr = line.strip().split()  # 去回车，放入列表
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  # 添加数据
        labelMat.append(int(lineArr[2]))  # 添加标签
    fr.close()  # 关闭文件
    return dataMat, labelMat  # 返回


def sigmoid(inX):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))

"""
函数说明:梯度上升算法

Parameters:
    dataMatIn - 数据集
    classLabels - 数据标签
Returns:
    weights.getA() - 求得的权重数组(最优参数)
"""

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn)  # 转换成numpy的mat
    labelMat = np.mat(classLabels).transpose()  # 转换成numpy的mat,并进行转置
    m, n = np.shape(dataMatrix)  # 返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
    alpha = 0.001  # 移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
    maxCycles = 500  # 最大迭代次数
    weights = np.ones((n, 1))
    for k in range(maxCycles):
        h = sigmoid(dataMatrix * weights)  # 梯度上升矢量化公式
        error = labelMat - h
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
    return weights.getA()  # 将矩阵转换为数组，返回权重数组

if __name__ == '__main__':
    dataMat, labelMat = loadDataSet()
    print(gradAscent(dataMat, labelMat))

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def loadDataSet():
    dataMat = []  # 创建数据列表
    labelMat = []  # 创建标签列表
    fr = open('testSet.txt')  # 打开文件
    for line in fr.readlines():  # 逐行读取
        lineArr = line.strip().split()  # 去回车，放入列表
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  # 添加数据
        labelMat.append(int(lineArr[2]))  # 添加标签
    fr.close()  # 关闭文件
    return dataMat, labelMat  # 返回

def sigmoid(inX):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn)  # 转换成numpy的mat
    labelMat = np.mat(classLabels).transpose()  # 转换成numpy的mat,并进行转置
    m, n = np.shape(dataMatrix)  # 返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
    alpha = 0.001  # 移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
    maxCycles = 500  # 最大迭代次数
    weights = np.ones((n, 1))
    for k in range(maxCycles):
        h = sigmoid(dataMatrix * weights)  # 梯度上升矢量化公式
        error = labelMat - h
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
    return weights.getA()  # 将矩阵转换为数组，返回权重数组


def plotBestFit(weights):
    dataMat, labelMat = loadDataSet()  # 加载数据集
    dataArr = np.array(dataMat)  # 转换成numpy的array数组
    n = np.shape(dataMat)[0]  # 数据个数
    xcord1 = [];
    ycord1 = []  # 正样本
    xcord2 = [];
    ycord2 = []  # 负样本
    for i in range(n):  # 根据数据集标签进行分类
        if int(labelMat[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i, 1]);
            ycord1.append(dataArr[i, 2])  # 1为正样本
        else:
            xcord2.append(dataArr[i, 1]);
            ycord2.append(dataArr[i, 2])  # 0为负样本
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)  # 添加subplot
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=20, c='red', marker='s', alpha=.5)  # 绘制正样本
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=20, c='green', alpha=.5)  # 绘制负样本
    x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0] - weights[1] * x) / weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.title('BestFit')  # 绘制title
    plt.xlabel('X1');
    plt.ylabel('X2')  # 绘制label
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    dataMat, labelMat = loadDataSet()
    weights = gradAscent(dataMat, labelMat)
    plotBestFit(weights)

机器学习实战教程（六）：Logistic回归基础篇之梯度上升算法 (cuijiahua.com)