矩阵、向量

数学：矩阵、向量

• 什么是矩阵和向量
• 矩阵的加法,乘法
• 矩阵的逆和转置
• 应用np.matmul、np.dot实现矩阵运算

---

1 矩阵和向量

1.1 矩阵

矩阵，英文matrix，和array的区别矩阵必须是2维的，但是array可以是多维的。

如图:这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列，如 m 为行，n 为列，那么 m×n 即 3×2
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$
矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素(矩阵项):
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$
Aij 指第 i 行，第 j 列的元素。

1.2 向量

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，下面展示的就是三维列
向量(3×1)。)
$$A=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

2 加法和标量乘法

矩阵的加法:行列数相等的可以加。

例:
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$
矩阵的乘法:每个元素都要乘。

例:
$$3\ast \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\\ 15& 18\end{array}\right]$$
组合算法也类似。

3 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量

例:
$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 0\\ 2& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}16\\ 4\\ 7\end{array}\right]$$

1*1+3*5 = 16
4*1+0*5 = 4
2*1+1*5 = 7

矩阵乘法遵循准则：

(M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)

4 矩阵乘法

矩阵乘法：

m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。

举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那 么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

• 练一练

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& 2\\ 2& 1& 1\end{array}\right]$$

求矩阵AB的结果

答案：
$$B=\left[\begin{array}{ccc}1\ast 1+2\ast 1+3\ast 2& 1\ast 2+2\ast 1+3\ast 1& 1\ast 1+2\ast 2+3\ast 1\\ 4\ast 1+5\ast 1+6\ast 2& 4\ast 2+5\ast 1+6\ast 1& 4\ast 1+5\ast 2+6\ast 1\\ 7\ast 1+8\ast 1+0\ast 2& 7\ast 2+8\ast 1+0\ast 1& 7\ast 1+8\ast 2+0\ast 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}9& 7& 8\\ 21& 19& 20\\ 15& 22& 23\end{array}\right]$$

5 矩阵乘法的性质

矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A

矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从 左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

6 逆、转置

矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

AA^-1 = A^-1A = I

低阶矩阵求逆的方法:

​ 1.待定系数法

​ 2.初等变换

矩阵的转置：设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 a(i,j)，即：

A=a(i,j)

定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B，满足 B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素），记 A^T =B。

直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作 镜面反转，即得到 A 的转置。

例：
$${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right]$$

7 矩阵运算

$$\left[\begin{array}{cc}80& 86\\ 82& 80\\ 85& 78\\ 90& 90\\ 86& 82\\ 82& 90\\ 78& 80\\ 92& 94\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}0.3\\ 0.7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}84.2\\ 80.6\\ 80.1\\ 90\\ 83.2\\ 87.6\\ 79.4\\ 93.4\end{array}\right]$$

7.1 矩阵乘法api：

• np.matmul
• np.dot

>>> a = np.array([[80, 86],
[82, 80],
[85, 78],
[90, 90],
[86, 82],
[82, 90],
[78, 80],
[92, 94]])
>>> b = np.array([[0.7], [0.3]])

>>> np.matmul(a, b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

>>> np.dot(a,b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

np.matmul和np.dot的区别:

• 二者都是矩阵乘法。
• np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。
• 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。

8 小结

• 1.矩阵和向量
  • 矩阵就是特殊的二维数组
  • 向量就是一行或者一列的数据
• 2.矩阵加法和标量乘法
  • 矩阵的加法:行列数相等的可以加。
  • 矩阵的乘法:每个元素都要乘。
• 3.矩阵和矩阵(向量)相乘
  • (M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)
• 4.矩阵性质
  • 矩阵不满足交换率,满足结合律
• 5.单位矩阵
  • 对角线都是1的矩阵,其他位置都为0
• 6.矩阵运算
  • np.matmul
  • np.dot
  • 注意：二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。