本篇文章结合王道课程及自己对树的理解，希望对你有所帮助

目录

一、树是什么？

 1.树的概念

2.结点的分类

3.树的其他相关概念

 4.数的存储结构

5、树的常考性质

二、二叉树

1.如何引入二叉树

 2.相互转换

 （1）树转换二叉树

（2）二叉树还原为树​​​​​​​

（3） 森林转化为二叉树

3.二叉树概念

4.二叉树的五种状态

5.几种特殊的二叉树

6.二叉树的性质

7.完全二叉树的常考性质

8.二叉树的存储

---

---

一、树是什么？

 1.树的概念

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集合，当n=0时，为空树；n>0时，为非空树。任意一棵非空树，满足：      

（1）有且仅有一个称之为根的结点；      

（2)除根结点以外的其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个           集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。  

                 

2.结点的分类

关于树的结点涉及许多概念需要我们了解

​​​​​​​结点——结点包含数据元素及若干指向子树的分支信息。

结点的度——结点拥有的子树个数。

树的度——树中结点的最大度数。

终端结点——度为0的结点，又称叶子。

分支结点——度大于0的结点，除了叶子都是分支结点。

内部结点——除了树根和叶子都是内部结点。

属性

结点的层次（深度）-- 从上往下数（默认从1开始）

结点的高度--从下往上数

数的高度 （深度）--  总共多少层

结点的度 -- 有几个孩子（分支）

树的度——各结点的度的最大值

         

3.树的其他相关概念

路径——树中的俩个结点之间的所经过的结点序列。

路径长度——俩接结点之间路径所经过的边数。

双亲、孩子——结点的子树的根称为该结点的孩子。

兄弟——双亲相同的结点互称兄弟。

堂兄弟——双亲是兄弟的结点互称兄弟。

祖先——即从该结点到数根经过的所有结点，称为该结点的祖先。

子孙——结点的子树中的所有结点都称为该节点的子孙。

有序树——逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是有次序的，不能互换。

无序树——逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是无次序的，可以互换。

 

森林——森林是m（m>=0） 棵互不相交的树的集合

 4.数的存储结构

  1.双亲表示法

  2.孩子表示法

  3.双亲孩子表示法

（这里0表示没有）

如果用这个方法会比较浪费空间，而且a,b方法找孩子或者双亲比较麻烦 

5、树的常考性质

 1） 结点数 = 总度数 + 1

2） 度为m的树，m叉树的区别 

 

 3）度为m的树第 i 层至多有m^i-1 个结点（i>=1）

 

4) 高度为h的m叉树至多有 m^h - 1/ m-1

 

 5) 高度为为h的二叉树至少有h个结点，

     高度为h，度为m的树至少有h+m-1个结点。

 

6) 具有n个结点的m叉树的最小高度为| logm(n(m- 1) + 1)]

 

二、二叉树

1.如何引入二叉树

孩子链表示法

    

孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法秘诀    长子当做左孩子，兄弟关系左右斜

 2.相互转换

 （1）树转换二叉树

（2）二叉树还原为树

（3） 森林转化为二叉树

3.二叉树概念

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n=0）；或为非空树。对于非空树T满足：

（1）有且仅有一个称为根的结点；        

（2）除根结点以外，其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左子树和右子树，且T1和T2本身都是二叉树

 

4.二叉树的五种状态

 

5.几种特殊的二叉树

满二叉树和完全二叉树

如下图（绿色的为叶子结点）

 

二叉排序树

可以通过二叉排序树快速的进行查找和插入 

 

平衡二叉树

 

 

 

6.二叉树的性质

性质1： 

性质2：

性质3 ：

 

7.完全二叉树的常考性质

考点1：

下面这个符号注意不是绝对值，是向上取整的意思 

 

下面这个符号是向下取整的意思

 

考点2：

总结

二叉树: no= n2+ 1

·第i层至多有2i1个结点（ i≥1)

·高度为h的二叉树至多有2h -1个结点

完全二叉树:
具有n个 （n>0）结点的完全二叉树的高度h为|log,(n + 1)7或Llog2n]+ 1

对于完全二叉树，可以由的结点数n推出为0、1和2的结点个数为n、n1和n,(突破点:完全二叉树最多只会有一个度为1的结点)
 

8.二叉树的存储

几个常考的操作 

 

 但是如果存储的是非完全二叉树，采用顺序存储会浪费很多空间，所以非完全二叉树基本不考虑这种

 代码

struct Elemtype{
	int value;
};

//二叉树的结点

typedef struct BiTNode{
     Elemtype date;  //数据域
     struct BiTNode *lchild ,*rchild;  //左右孩子指针

}BiTNode ,*BiTree;

//定义一个空树
BiTree root = NULL;

//插入根结点
root = (Bitree) malloc(sizeof(BiTnode));
root->date = {1};
root->lchild = NULL; 
root->rchild = NULL;

//插入新的结点
 BiTnode *p = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));
 p->date = {2};
 p->lchild = NULL;
 p->rchild = NULL;
 root->lchild = p;          //作为根结点的左孩子 

 但是这样如果想找到父结点，我们只能从根开始遍历，这样非常浪费时间，我们可以根据题目要求设置一个父结点，也叫三叉链表

typedef struct BiTNode{
     Elemtype date;  //数据域
     struct BiTNode *lchild ,*rchild;  //左右孩子指针 
     struct BiTNode *parent;  //父结点

}BiTNode ,*BiTree;