简单数论问题
简单 数论 问题
2023-09-11 14:20:46 时间
简单数论问题
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Problem Description
Given two positive integers a and N, satisfaing gcd(a,N)=1, please find the smallest positive integer x with a^x≡1(mod N).
Input
First is an integer T, indicating the number of test cases. T<3001.
Each of following T lines contains two positive integer a and N, separated by a space. a<N<=1000000.
Each of following T lines contains two positive integer a and N, separated by a space. a<N<=1000000.
Output
For each test case print one line containing the value of x.
Sample Input
2 2 3 3 5
Sample Output
2 4
Author
// 题意：求满足a^x mod n恒等于1 的最小x值。
// 背景： 对不论什么两个互质的正整数a, m, m>=2有
a^φ(m)≡1(mod m) φ(m）即为m的欧拉函数
即欧拉定理
当m是质数p时，此式则为：
a^(p-1)≡1(mod m) 表示假设m是质数那么m的欧拉函数即是m-1。
即费马小定理。
// 题解：先打表出1-N的欧拉函数值然后枚举欧拉函数进行质因数分解，不断更新最小值。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Max = 1000010;
int prime[Max], phi[Max]; //保存全部值的欧拉函数
void fun() //求1到max全部值的欧拉函数
{
prime[0] = prime[1] = 0;
for(int i = 2;i <= Max; i ++) prime[i]=1;
for(int i = 2; i*i <= Max; i ++)
if(prime[i])
for(int j=i*i;j<=Max;j+=i)
prime[j]=0;
for(int i=1;i<=Max;i++)
phi[i]=i;
for(int i=2;i<=Max;i++)
if(prime[i])
for(int j = i; j <= Max; j += i)
phi[j] = phi[j]/i * (i-1);
}
int Mod(int a, int b, int c) //高速幂取模
{
int ans = 1;
long long aa = a;
while(b)
{
if (b % 2) ans = ans * aa % c;
aa = aa * aa % c;
b /= 2;
}
return ans;
}
int main()
{
// freopen("a.txt","r",stdin);
// freopen("b.txt","w",stdout);
fun();
int t, a, n;
cin >> t;
while(t --)
{
cin >> a >> n;
int sn = (int)sqrt(phi[n]), ans = n; //在1-sn之间枚举n的欧拉函数的因子
for(int i = 1; i <= sn; i++) //在欧拉函数的全部因子中查找满足条件而且是最小的。
{
if (phi[n] % i == 0) //假设i是phi的因子 更新最小值
{
if (Mod(a, i, n) == 1 && ans > i)
ans = i;
if (Mod(a, phi[n] / i, n) == 1 && ans > phi[n] / i)
ans = phi[n] / i;
}
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}