函数

0.符号

≥ ：> 或 = 。a≥0 ⇦⇨ a>0 或 a=0
[]：取整函数， $x-1<[x]\le x$

$\sqrt{x^2}=|x|$

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例题1：取整函数求极限

思路：①取整函数不等式 ＋ ②夹逼原理

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1.函数四性质

1.单调性

证明函数不等式：构造辅助函数 + 单调性

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例题1：12年15.

分析：f’‘(x)>0 ∴f’(x)单增 ∴f’(x)>f’(0)=0 ∴f(x)单增 ∴f(x)>f(0)=0

答案：略

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2.奇偶性

奇函数：$f(-x)=-f(x)$

若奇函数在x=0处有定义，则$f_{奇}(0)=0$（奇函数的必要条件）

偶函数：$f(-x)=f(x)$

3.对称性

4.周期性

2.初等函数及其图像

$\cot x$

余切cotx，是正切tanx的倒数

$\cot x=\frac{1}{\tan x}$

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例题：11年4.   定积分的保号性

分析：

答案：B

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$\sec x$

正割secx，是余弦cosx的倒数

1.定义：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$

2.三角恒等式：${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

3.导数：$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

4.积分：$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

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例题：11年9.

答案：$\ln (1+\sqrt{2})$

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3.三角恒等式

$se{c}^{2}x=1+ta{n}^{2}x$

4.三角函数

${\sin }^{3}x$

sinωt 是以$\frac{2\pi }{\omega }$为周期的正弦函数，ω越大，周期越小。
例如：sinx周期为2π，sin2x的周期为π

易错点：${\int }_0^{2\pi }si{n}^{3}t\mathrm{d}t=0$

∵ω始终为1，∴一个蘑菇的跨度始终为π。只不过sin的偶次方，因为负数部分会翻上来，周期会变成π，奇次方还是和一次方一样

如图，$si{n}^{3}t$的图像，和$sint$差别不大，只是从饱满变得更加突起

$\sin \frac{1}{x}$

$y=sin\frac{1}{x}$图像

由$y=sin\frac{1}{x}$图像可知，$y=sin\frac{1}{x}$在x=0处是有界振荡，不存在无穷间断点，故没有铅直渐近线。

公式

1.一元二次方程求根公式

一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的解为 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1.诱导公式

$\cos k\pi =(-1{)}^k$
$tan(\frac{\pi }{2}-\alpha )=cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }$

2.韦达定理

设一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a,b,c\in R，a\ne 0)$中，两根x₁、x₂有如下关系：
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

$$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

在求解微分方程的特征方程时，经常会用到韦达定理。

二阶线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，则
$${\lambda }_1+{\lambda }_2=-\frac{p}{1}=-p$$
$${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=\frac{q}{1}=q$$

通过二阶齐次微分方程的通解形式，可以直接知道${\lambda }_1、{\lambda }_2$的取值。（见高数下二阶齐次的表格）

3.平方公式

三和平方：$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$

$$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$$
即$(xy+yz+xz)=\frac{1}{2}[(x+y+z{)}^2-(x^2+y^2+z^2)]$

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例题：18年12.  轮换对称性

分析：轮换对称性、可代入、三和平方公式

答案：$-\frac{\pi }{3}$

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4.立方公式

立方和公式

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

立方差公式

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

完全立方公式

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

令b=-b，则b³=-b³
$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

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例题：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

分析：由$A^3=O$得$E\pm A^3=E$

即$E=E+A^3=(E+A)(E^2-AE+A^2)=(E+A)(E-A+A^2)$，则$E+A$可逆且$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$

即$E=E-A^3=(E-A)(E^2+AE+A^2)=(E-A)(E+A+A^2)$，则$E-A$可逆且$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$

答案：C

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5.解析几何

边长为a的正三角的面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

设正三角形的边长为a，则高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

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例题：07年14.  关于坐标面的对称性、轮换对称性

分析：$|x|+|y|+|z|=1$ 是正八面体 。

考虑曲面Σ关于yOz平面对称，则关于x的奇函数的曲面积分为0，即$\underset{\Sigma }{\iint }x\mathrm{d}S=0$
∴ $\underset{\Sigma }{\iint }(x+|y|)\mathrm{d}S=\underset{\Sigma }{\iint }|y|\mathrm{d}S\stackrel{轮换对称性}{=}\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }(|x|+|y|+|z|)\mathrm{d}S=\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{d}S$

观察该正八面体 $|x|+|y|+|z|=1$，其在第一卦限上的表面积为一个正三角形，边长为$\sqrt{2}$，则正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}$

则$\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{d}S=\frac{1}{3}\times 8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

答案：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

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6.等比数列求和公式

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\ne 1)$$

推导：
①q=1时：$S_n=n{a}_1$

②q≠1时：$a_{n+1}=q{a}_n=a_1{q}^n$
$S_n=a_1+a_2+...+a_n$
$q{S}_n=q{a}_1+q{a}_2+...+q{a}_n=a_2+a_3+...+a_{n+1}$
$\therefore S_n-q{S}_n=a_1-a_{n+1}$
即$(1-q)S_n=a_1-a_{n+1}$
$\therefore S_n=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

7.取整符号 [ ]

[a]表示不超过a的最大整数

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例题1：05年15.

分析：[1+x²+y²]表示不超过1+x²+y²的最大整数

答案：$\frac{3}{8}$

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