Ch12. 无穷级数

一、常数项级数

(一)正项级数

(二)交错级数

(三)任意项级数

1.四个特殊的常数项级数

①等比级数

等比级数(几何级数)：$\sum _{i=0}^{\infty }a{q}^i=\{\begin{array}{rl}\frac{a}{1-q}(收敛)，& |q|<1\\ \infty (发散)，& |q|\ge 1\end{array}$

②p级数

p级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$   $\{\begin{array}{rl}p>1，& 收敛\\ 0<p\le 1，& 发散\end{array}$

p=2>1时，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

③调和级数

调和级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...=\infty$       发散

④交错调和级数、交错p级数

交错调和级数：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}+...=\ln 2$       收敛

交错p级数：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^p}$   $\{\begin{array}{rl}p>1，& 绝对收敛\\ 0<p\le 1，& 条件收敛\end{array}$

2.收敛级数的性质（针对任意项级数）

(1)(2)加减数乘都收敛

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例题：06年9.

分析：ABC仅对正项级数成立。
举反例：
AB：$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$

C：$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$

答案：D

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3.常数项级数的审敛法

1.正项级数审敛法(判别法)

(1)比较判别法

1.比较审敛法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。
2.比较审敛法可用于抽象级数的审敛。而极限审敛法、比值法、根值法 必须要有具体的级数表达式才能使用。
结论：抽象级数的审敛，仅能使用比较审敛法。关键是要找到比较的对象。

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例题1：09年4.  举反例、正项级数的比较审敛法

分析：
对于A，取$a_n=b_n=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，则$a_n{b}_n=\frac{1}{n}$，为调和级数，发散

对于C，用正项级数的比较审敛法证明C正确：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n^2{b}_n^2}{|b_n|}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^2|b_n|=0\therefore |b_n|$更大。由比较审敛法，大的收敛，则小的$a_n^2{b}_n^2$必收敛

答案：C

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(2)比较审敛法极限形式

(3)比值法

$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\{\begin{array}{rl}\rho & <1，收敛\\ \rho & >1，发散\\ \rho & =1，不定，可能收敛可能发散\end{array}$

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例题1：22年14.

分析：

答案：-1

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(4)根值法

(5)级数收敛的必要条件

级数收敛的必要条件：一般项$u_n$趋于零，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

(6)正项级数收敛的充分必要条件

正项级数收敛的充分必要条件：它的部分和数列$s_n$有界
即：若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数且收敛，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$存在
若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$不存在

(7)绝对收敛必收敛 (任意项级数)

收敛分绝对收敛和条件收敛：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛 ⇦⇨ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛 且$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$也收敛

(8)极限审敛法

(9)积分判别法

(10)A-D判别法(任意项级数)

2.交错级数审敛法 —— 莱布尼茨收敛定理

莱布尼茨收敛定理：
若交错级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 满足 $u_n$单调递减趋于0，则交错级数收敛
即满足 (1)$u_n\ge u_{n+1}$  (2)$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$.

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例题：11年2.

分析：显然 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$ 的收敛中心为 x=1，故排除AB
代入x=2，得发散，所以2处应该为开区间，选C

答案：C

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3.收敛的分类：绝对收敛与条件收敛

$绝对收敛：\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|也收敛$（本身收敛，各项加绝对值也收敛）
$条件收敛：\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|发散$（本身收敛，各项加绝对值发散）

1.级数共有绝对收敛、条件收敛和发散三种情况。收敛级数只有绝对收敛和条件收敛两种情况。
2.$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}_n在x=x_0处条件收敛，则收敛半径R=x_0$

4.常用于举反例的一般项

$a_n=\frac{1}{n}$ 或 $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$

$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$

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例题：09年4.

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二、函数项级数

(二)幂级数

幂级数定义：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^{2}2+a_3{x}^3+...+a_n{x}^n+...$

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例题1：10年14.   数字特征与幂级数

答案：2

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1.阿贝尔定理

阿贝尔定理推论1

当|x|<R时，幂级数绝对收敛；
当|x|>R时，幂级数发散；
当x = R或x = -R时，幂级数敛散性不定，可能收敛也可能发散.

正数R称为幂级数的收敛半径。开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。

阿贝尔定理推论2：条件收敛可得收敛半径

若$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n在x=x_0处条件收敛，则收敛半径R=x_0$

证明：由Abel定理，
①$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n在x=x_0$处收敛，则$|x|<|x_0|$的一切x使得幂级数绝对收敛，即$R\ge x_0$。

②若 $R=x_0+\epsilon$，则$|x|<|x_0+\epsilon |$的一切x使得幂级数绝对收敛，即$x=x_0<x_0+\epsilon$处绝对收敛。这与$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n在x=x_0$处条件收敛相矛盾，故$R\le x_0$

综上①②，收敛半径$R=x_0$

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例题1：15年3.(好题)

例题2：11年2.

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2.泰勒级数（麦克劳林级数）

$$\begin{gathered} 1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n(-1<x<1) \\ 1-x+x^2-x^3+...+(-1{)}^n{x}^n+...=\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n(-1<x<1) \\ {e}^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n(-\infty <x<+\infty ) \end{gathered}$$

$e^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$

$\therefore e=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$

3.求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

1.收敛半径R：
$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|R=\frac{1}{\rho }$$
2.收敛区间：$(-R,R)$         收敛区间是开区间
3.收敛域：在收敛区间的基础上，验证x=R和x=-R两个端点

用比值法求幂级数的收敛域

$u_n(x)=a_n{x}^n，\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|<1，收敛$

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例题1：22年14.

分析：$e^{-nx}$，无法完全分离出$a_n$，不能使用阿达玛公式，改用比值法(ρ<1)求x的收敛范围

答案：-1

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缺项幂级数

缺项幂级数求收敛域：$u_n(x)$比值法，ρ(x)<1，得出收敛区间。再代入端点值验证，得出收敛域。

记$u_n(x)=a_n{x}^n，\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|$

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例题1：12年17.   缺项幂级数

分析：缺项幂级数求收敛域：$u_n(x)$比值法，ρ(x)<1，得出收敛区间。再代入端点值验证，得出收敛域。

答案：

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偏心幂级数

4.函数→幂级数 ：函数$f(x)$展开为幂级数

函数→幂级数：
①凑标杆：先求导或积分到标杆 $\frac{1}{1-x}$ 的形式 (x可以为任意形式)，以“标杆”为桥梁变成幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$ (x可以为任意形式)。
②凑题干：和分两项，尽力合并，注意题干是n=0还是n=1，努力把两项变一项，凑成题干的形式
③求常数项级数：此时的求常数项级数，就是把幂级数中的x代入特定值。

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例题1：01年13.

分析：

答案：$\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$

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5.幂级数→函数：求幂级数的和函数S(x)

标杆

(1)重要“标杆”：$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{1}{1-x}(-1<x<1)$
(2)变形:
$\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n=x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{x}{1-x}(-1<x<1)$

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+...+(-1{)}^n{x}^n+...=\frac{1}{1+x}(-1<x<1)$

逐项求导、逐项积分求和函数 S(x)

(1)

(2)①有分子就先积分消分子，凑标杆为函数，再求导。
②有分母就先求导消分母，凑标杆为函数，再积分。
一次求导(到凑标杆)，对应一次积分。两次求导(到凑标杆)，对应两次积分
一次积分(到凑标杆)，对应一次求导。两次积分(到凑标杆)。对应两次求导

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例题1：17年12.   积分消分子，凑标杆，再求导回来

分析：

答案：$\frac{1}{(1+x{)}^2}$

例题2：05年16.  求收敛区间、和函数

答案：

例题3：23李林四(一)14.

分析：

答案：$\frac{x{e}^x}{e^x-1}(x>0)$

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构造微分方程求和函数 S(X)

含有常数项递推式，求和函数，一般是需要对S(x)求导，找到一阶微分方程，用公式法求解y=S(x)

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例题1：20年17.

答案：

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6.幂级数与常数项级数的相互转化

$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 是 x=1时的$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$

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例题1：15年3.  幂级数与常数项级数的转化、阿贝尔定理推论2

分析：

答案：B

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(二)三角级数

1.傅里叶级数

形如下式的级数叫做三角级数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi t}{l})+b_n\sin \frac{n\pi t}{l})$$

令$\frac{\pi t}{l}=x$，三角级数可变为
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx)+b_n\sin nx)$$
这就把以 $2l$ 为周期的三角级数转换成以 $2\pi$ 为周期的三角级数。

2.傅里叶系数、傅里叶级数

傅里叶系数：
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,3,...)\end{array}$$

傅里叶级数：
$$\begin{gathered} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \\ {f}_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \\ {f}_1(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+b_1\sin x \end{gathered}$$

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例题1：03年3.

分析：这里建议使用表格法积分

答案：1

例题2：14年4.

分析：①傅里叶级数 ②直接计算积分 ③代入选项求积分比最小

答案：A

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3.正弦级数、余弦级数

已知傅里叶系数为：
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,3,...)\end{array}$$

①当$f(x)为奇函数$时，$f(x)\cos nx$是奇函数，$f(x)\sin nx$是偶函数，故
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=0(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,3,...)\end{array}$$

②当$f(x)为偶函数$时，$f(x)\cos nx$是偶函数，$f(x)\sin nx$是奇函数，故
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=0(n=1,2,3,...)\end{array}$$

即知
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数：$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数：$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$

4.奇延拓、偶延拓、周期延拓

奇延拓：把(0,π]上的奇函数延展为(-π,π]上的奇函数
偶延拓：把(0,π]上的偶函数延展为(-π,π]上的偶函数
周期延拓：从周期为(-π,π] 延展为周期为2π的周期函数

5.狄利克雷收敛定理

设f(x)是周期为2π的周期函数，若它满足：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点

那么f(x)的傅里叶级数收敛，并且
①当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x) 和函数S(x)=f(x)
②当x是f(x)的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$ 和函数S(x)=间断点左右极限的平均值

$$S(x)=\{\begin{array}{rl}f(x)，& x为连续点\\ \frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}，& x为间断点\end{array}$$

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例题1：23李林四(四)14.   周期延拓

分析：

答案：$\frac{{\pi }^2}{2}$

例题2：13年3.   奇延拓、周期延拓

分析：
S(x)是奇函数的傅里叶级数的和函数
画出f(x)图像，把f(x)进行奇延拓、周期延拓，周期为2
$S(-\frac{9}{4})=S(-\frac{9}{4}+2)=S(-\frac{1}{4})=-S(\frac{1}{4})\underset{连续点}{\overset{狄利克雷收敛定理}{=}}-f(\frac{1}{4})=-|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}|=-\frac{1}{4}$

答案：C

例题3：99年选择3   偶延拓、周期延拓

分析：
S(x)是偶函数的傅里叶级数的和函数
画出f(x)图像，把f(x)进行偶延拓、周期延拓，周期为2
$S(-\frac{5}{2})=S(-\frac{5}{2}+2)=S(-\frac{1}{2})=S(\frac{1}{2})\underset{间断点}{\overset{狄利克雷收敛定理}{=}}\frac{\frac{1}{2}+1}{2}=\frac{3}{4}$

答案：C

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