洛谷 P3979 遥远的国度

洛谷传送门

题目描述

zcwwzdjn 在追杀 zhx ，而 zhx 逃入了一个遥远的国度。当 zcwwzdjn 准备进入遥远的国度继续追杀时，守护神 RapiD 阻拦了 zcwwzdjn 的去路，他需要 zcwwzdjn 完成任务后才能进入遥远的国度继续追杀。

问题是这样的：遥远的国度有 nn 个城市，这些城市之间由一些路连接且这些城市构成了一颗树。这个国度有一个首都，我们可以把这个首都看做整棵树的根，但遥远的国度比较奇怪，首都是随时有可能变为另外一个城市的。遥远的国度的每个城市有一个防御值，第 ii 个的防御值为 val_ival**i，有些时候 RapiD 会使得某两个城市之间的路径上的所有城市的防御值都变为某个值。

RapiD 想知道在某个时候，如果把首都看做整棵树的根的话，那么以某个城市为根的子树的所有城市的防御值最小是多少。

由于 RapiD 无法解决这个问题，所以他拦住了 zcwwzdjn 希望他能帮忙。但 zcwwzdjn 还要追杀 zhx，所以这个重大的问题就被转交到了你的手上。

输入格式

第 11 行两个整数 n\ mn m，代表城市个数和操作数。

第 22 行至第 nn 行，每行两个整数 u\ vu v，代表城市 uu 和城市 vv 之间有一条路。

第 n+1n+1 行，有 nn 个整数，第 ii 个代表第 ii 个点的初始防御值 val_ival**i。

第 n+2n+2 行一个整数 idi**d，代表初始的首都为 idi**d。

第 n+3n+3 行至第 n+m+2n+m+2 行，首先有一个整数 optopt。

如果 opt=1opt=1，接下来有一个整数 idi**d，代表把首都修改为 idi**d；

如果 opt=2opt=2，接下来有三个整数 x\ y\ vx y v，代表将 x\ yx y 路径上的所有城市的防御值修改为 vv；

如果 opt=3opt=3，接下来有一个整数 idi**d，代表询问以城市 idi**d 为根的子树中的最小防御值。

输出格式

对于每个 opt=3opt=3 的操作，输出一行代表对应子树的最小点权值。

题解：

前置知识，树链剖分。

附上讲解链接：

浅谈树链剖分

学习完树链剖分我们可以完美地解决链上修改操作和子树查询操作。

就是这个换根，真的烦人。

思考换根的处理方法：

如果每次暴力重构树，重新进行树链剖分的话，显然不行。这个复杂度只能支持我们进行一次树链剖分的预处理。那么我们只能考虑如何用一次预处理，只在查询上下些功夫，来解决掉这个换根问题。

通过换根DP的启发，我们可以发现，探究性质是一个不错的选择。

随便手画几个图。发现，改完根之后，对于大多数节点的答案是没有影响的。

所以想到分类讨论：什么情况下对答案没有影响，什么情况下对答案有影响。

• 情况1：询问点idx与当前根now重合。此时即为全局最小值。

• 情况2：询问点与当前根离得很远，不在一条链上，或者从1到now不包括询问点idx。此时对答案不影响，直接树剖询问子树输出即可。

• 情况3：询问点在1到now的链上，此时对答案有影响。

于是我们考虑有什么影响。随便手画图可以看出，这时询问点的答案只不包括询问点到当前根这整条路径（一直到底）这部分。所以我们可以求两个最小值，再求一次最小。类似于容斥原理的思想。

所以有代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define lson pos<<1
#define rson pos<<1|1
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int INF=2147483647;
int n,m;
int tot,to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],head[maxn],a[maxn];
int size[maxn],deep[maxn],fa[maxn],son[maxn],top[maxn],id[maxn],cnt,w[maxn];
int tree[maxn<<2],lazy[maxn<<2];
int now;
int tmp;
bool flag;
void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int f)
{
    deep[x]=deep[f]+1;
    fa[x]=f;
    size[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f)
            continue;
        dfs1(y,x);
        size[x]+=size[y];
        if(!son[x]||size[y]>size[son[x]])
            son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int x,int t)
{
    top[x]=t;
    id[x]=++cnt;
    w[cnt]=a[x];
    if(!son[x])
        return;
    dfs2(son[x],t);
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x])
            continue;
        dfs2(y,y);
    }
}
void build(int pos,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(l==r)
    {
        tree[pos]=w[l];
        return;
    }
    build(lson,l,mid);
    build(rson,mid+1,r);
    tree[pos]=min(tree[lson],tree[rson]);
}
void mark(int pos,int l,int r,int k)
{
    tree[pos]=k;
    lazy[pos]=k;
}
void pushdown(int pos,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    mark(lson,l,mid,lazy[pos]);
    mark(rson,mid+1,r,lazy[pos]);
    lazy[pos]=0;
}
void update(int pos,int l,int r,int x,int y,int k)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=l && r<=y)
    {
        mark(pos,l,r,k);
        return;
    }
    if(lazy[pos])
        pushdown(pos,l,r);
    if(x<=mid)
        update(lson,l,mid,x,y,k);
    if(y>mid)
        update(rson,mid+1,r,x,y,k);
    tree[pos]=min(tree[lson],tree[rson]);
}
void upd_chain(int x,int y,int k)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
            swap(x,y);
        update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]<deep[y])
        swap(x,y);
    update(1,1,n,id[y],id[x],k);
}
int goal(int x,int y)
{
	while(top[x]!=top[y])
    {
		if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
            swap(x,y);
		if(fa[top[x]]==y)
            return top[x];
		x=fa[top[x]];
	}
	if(deep[x]>deep[y])
        swap(x,y);
	return son[x];
}
int query(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
    int ret=INF;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=l && r<=y)
        return tree[pos];
    if(lazy[pos])
        pushdown(pos,l,r);
    if(x<=mid)
        ret=min(ret,query(lson,l,mid,x,y));
    if(y>mid)
        ret=min(ret,query(rson,mid+1,r,x,y));
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&now);
    while(m--)
    {   
        int opt,idx,x,y,v;
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==1)
        {
            scanf("%d",&idx);
            now=idx;
        }
        else if(opt==2)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
            upd_chain(x,y,v);
        }
        else
        {
            scanf("%d",&idx);
            if(idx==now)
                printf("%d\n",tree[1]);
            else if(deep[idx]<deep[now]&&fa[tmp=goal(idx,now)]==idx)
            {
                int a,b,c;
                a=query(1,1,n,1,id[tmp]-1);
                b=query(1,1,n,id[tmp]+size[tmp],n);
                printf("%d\n",min(a,b));
            }
            else
                printf("%d\n",query(1,1,n,id[idx],id[idx]+size[idx]-1));
        }
    }
    return 0;
}