NOIP 2004 虫食算

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Description

​ 所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：

​ 43#9865#045

​ + 8468#6633

​ = 44445506678

​ 其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是5和3，第二行的数字是5。

​ 现在，我们对问题做两个限制：

​ 首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法，算式中三个数都有N位，允许有前导的0。

​ 其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是N进制的，我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字：但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。输入数据保证N个字母分别至少出现一次。

​ BADC

+ CBDA

= DCCC

​ 上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让ABCD分别代表0123，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的N进制加法算式，求出N个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解

Input

输入包含4行。第一行有一个正整数N(N< =26)，后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格，从高位到低位，并且恰好有N位。

Output

输出包含一行。在这一行中，应当包含唯一的那组解。解是这样表示的：输出N个数字，分别表示A，B，C……所代表的数字，相邻的两个数字用一个空格隔开，不能有多余的空格。

Sample Input

5 ABCED BDACE EBBAA

Sample Output

1 0 3 4 2

题解：

30pts：

生成全排列一一判断即可。实际得分可以到40.

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
char s1[28],s2[28],s3[28];
int a[28];
int a1,a2,a3;
int qpow(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            ret*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
bool check()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int opt1=s1[n-i-1]-'A';
        int opt2=s2[n-i-1]-'A';
        int opt3=s3[n-i-1]-'A';
        a1+=(qpow(n,i)*(a[opt1]));
        a2+=(qpow(n,i)*(a[opt2]));
        a3+=(qpow(n,i)*(a[opt3]));
    }
    return (a1+a2==a3)?1:0;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s%s%s",s1,s2,s3);
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=i;
    do
    {
        a1=a2=a3=0;
        if(check())
        {
            for(int i=0;i<n;i++)
                printf("%d ",a[i]);
            return 0;
        }
    }while(next_permutation(a,a+n));
    return 0;
}

50pts，没啥区别，应该是给有心写正解但是写挂了的人准备的。（真是良心阿）

100pts：

正解就应该是搜索+剪枝，这个没什么好说的。重点在如何剪枝。

关于剪枝，这里有：

浅谈常见剪枝方式

这里选择了两种剪枝方法：（其实都属于可行性剪枝）

第一种，最高位不能进位。

第二种，由于是加法，所以进位最多为1。所以如果有大于1的进位，就不合法。

当然，这样的剪枝其实还是有一些虚的。所以我们还需要试着从枚举顺序上找一些妙妙性质然后进行优化。因为这个题搜到答案就可以停，所以越快搜到答案，算法就越优秀。

这里采用了一种77怪怪的枚举方式：设立next数组存枚举顺序。

先放代码，结合代码理解：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
int n;
char s1[28],s2[28],s3[28];
int a[28],b[28],c[28];
int nxt[28],cnt;
int mp[28];
int v[28];
void get(int x)
{
    if(!v[x])
    {
        v[x]=1;
        nxt[cnt++]=x;
    }
}
int check()
{
    int x=0;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        int aa=mp[a[i]],bb=mp[b[i]],cc=mp[c[i]];
        if((aa+bb+x)%n!=cc)
            return 0;
        x=(aa+bb+x)/n;
    }
    return 1;
}
int prune()
{
    if(mp[a[0]]+mp[b[0]]>=n)
        return 1;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        int aa=mp[a[i]],bb=mp[b[i]],cc=mp[c[i]];
        if(aa==-1||bb==-1||cc==-1)
            continue;
        if((aa+bb)%n!=cc&&(aa+bb+1)%n!=cc)
            return 1;
    }
    return 0;
}
void dfs(int x)
{
    if(prune())
        return;
    if(x==n)
    {
        if(check())
        {
            for(int i=0;i<n-1;i++)
                printf("%d ",mp[i]);
            printf("%d",mp[n-1]);
            exit(0);
        }
        return;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        if(!v[i])
        {
            v[i]=1;
            mp[nxt[x]]=i;
            dfs(x+1);
            v[i]=0;
            mp[nxt[x]]=-1;
        }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s%s%s",s1,s2,s3);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        a[i]=s1[i]-'A';
        b[i]=s2[i]-'A';
        c[i]=s3[i]-'A';
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        get(a[i]);
        get(b[i]);
        get(c[i]);
    }
    memset(mp,-1,sizeof(mp));
    memset(v,0,sizeof(v));
    dfs(0);
    return 0;
}

根据代码，我们可以得出，这个nxt数组是从右到左依次存的。那么这样存储的话，我们枚举到的东西就更能处理进位的情况，这样一来，就能优化不少复杂度。