题目描述

原题链接：123. 买卖股票的最佳时机 III

解题思路

（1）二维dp数组

• 动态规划五步曲：

（1）dp数组含义： dp[i][0]，表示无操作。主要由四个状态来表示四种操作。dp[i][1]，表示在第i天时，已经第一次持有过股票时，具有的最大收益。dp[i][2]，表示在第i天时，已经第一次不持过有股票票时，具有的最大收益。dp[i][3]，表示在第i天时，已经第二次持有过股票票时，具有的最大收益。dp[i][4]，表示在第i天时，已经第二次不持有过股票票时，具有的最大收益。

（2）递推公式：

1. dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i])，表示在之前已第一次持有股票和第i天第一次持有股票中，找一个最大值，作为最大收益。

2. dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i][1] + prices[i])，表示在之前已第一次不持有股票和第i天把股票售出后中，找一个最大值，作为最大收益。

3. dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i][2] - prices[i])，表示在之前已第二次不持有股票和第i天第二次持有股票中，找一个最大值，作为最大收益。这里注意，第i天时，第二次持有股票要从第一次不持有股票（第一次售出股票）后的状态得来。

4. dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i][3] + prices[i])，表示在之前已第二次不持有股票和第i天把股票售出后中，找一个最大值，作为最大收益。

（3）dp数组初始化： dp[0][0] = 0，遍历后续计算。dp[0][1] = -prices[0]，第一天购买股票，总收益减去当天股价。dp[0][2] = 0，第一次不持有，就相当于当天买当天卖。dp[0][3] = -prices[0]，第二次购买股票，相当于第一天买卖后，又买一次。dp[0][4] = 0，第二次卖出。

（4）遍历顺序： 从小到大。

（5）举例：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(5));   
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0], dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = -prices[0], dp[0][4] = 0;

        for(int i = 1; i < n; i++) {            
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }

        return dp[n - 1][4];
    }
};

（2）变量优化一维dp数组

1. dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], - prices[i])主要取决于i-1时情况和当下买入情况，可优化为dp[1] = max(dp[1], - prices[i])，每次到第i次遍历时，max中的dp[1]就相当于是第i-1次时计算得到的结果，取完最大值后，dp[1]就变为了dp[i][1]

2. dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])，同上取决于dp[i-1][2]和dp[i-1][prices[i]]，可优化为dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i])。如果是dp[i-1][2]大的话，直接得出即可。如果是dp[i-1][prices[i]]大的话，若上一条代码执行的是dp[i][1]=-prices[i]，此时若再次执行该条代码就会在同一天进行依次买卖，最终变为0。但在实际代码运行中并不会这样执行，除非prices数组中都为0。

3. dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])，同理可优化为dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i])。

4. dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])，同理可优化为dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i])。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<int> dp(5);   
        dp[0] = 0;
        dp[1] = -prices[0], dp[2] = 0;
        dp[3] = -prices[0], dp[4] = 0;

        for(int i = 1; i < n; i++) {            
            dp[1] = max(dp[1], - prices[i]);
            dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
            dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
            dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
        }

        return dp[4];
    }
};

参考文章：123. 买卖股票的最佳时机 III